[bzoj] 1257 余数之和sum || 数论

原题

给出正整数n和k，计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值，其中k mod i表示k除以i的余数。

---

\(\sum^n_{i=1}k\%i\)

\(=\sum^n_{i=1}k-\lfloor k/i \rfloor*i\)

\(=n*k-\sum^n_{i=1}\lfloor k/i \rfloor*i\)

\(\lfloor k/i \rfloor\)只有\(\sqrt k\)个取值

证明：

对于所有\(>\sqrt k\)的数，\(\lfloor k/i \rfloor\)一定是一个对应的\(<\sqrt k\)的值，所以最多只有\(2\sqrt k\)个值

也就是说\(\lfloor k/i \rfloor\)的取值是这样的：

所以每次i为左端点，k/(k/i)为右端点，这一段就可以直接处理。复杂度为\(O(\sqrt n)\)

#include<cstdio>
typedef long long ll;
using namespace std;
int n,k;
ll ans;

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    if (n>k) ans=(ll)(n-k)*k,n=k;
    int r;
    for (int i=1;i<=n;i=r+1)
    {
	int t=k/i;r=k/t;
	if (r>=n) r=n;
	ans+=(ll)(r-i+1)*k-(ll)(r-i+1)*(i+r)/2*t;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}