斐波那契数列的三种C++实现及时间复杂度分析

本文介绍了斐波那契数列的三种C++实现并详细地分析了时间复杂度。

斐波那契数列定义：F(1)=1, F(2)=1, F(n)=F(n-1) + F(n-2) (n>2)

如何计算斐波那契数 F(n) 及时间复杂度 T(n) 呢?

我参考了一些资料总结了以下3种方法：递归法、顺序法和矩阵乘法，并给出了基于C++的简单代码实现和时间复杂度分析。

如有不当，欢迎指正。

方法1：递归法

实现：

#include <stdio.h>
#include <iostream>

using namespace std;

long long Fibonacci1(int n)
{
    if (n < )
    {
        return ;
    }
    if (n ==  || n == )
    {
        return ;
    }
    return Fibonacci1(n - ) + Fibonacci1(n - );
}
int main()
{
    char cont = 'y';
    int n = ;
    long long f = ;
    cout << "Enter an integer:" << endl;
    while (cin >> n)
    {
        f = Fibonacci1(n);
        cout << "Fibonacci1(" << n << ") = " << f << endl;
        cout << "Continue(y or n)?" << endl;
        cin >> cont;
        if (cont == 'y' || cont == 'Y')
        {
            cout << "Enter an integer:" << endl;
        }
        else
            break;
    }
    return ;
}

时间复杂度：

　　设计算F(n)时调用递归的次数为call(n)，T(n) = O(call(n))。

　　1. 数学归纳法（没兴趣的可以直接看下面的方法2）

　　当n = 1, 2时，F(n) = 1，call(n) = 1，T(n) = O(1)

　　当n > 2时，F(n) = F(n-1) + F(n-2)，call(n) = call(n-1) + call(n-2) + 1（执行加法运算）。

　　n = 3时，call(3) = call(2) + call(1) + 1 = 3

　　n = 4时，call(4) = call(3) + call(2) + 1 = 5

　　n = 5时，call(5) = call(4) +call(3) + 1 = 9

　　……

　　注意到：F(3) = 2，call(3) = 3

　　　　　　F(4) = 3，call(4) = 5

　　　　　　F(5) = 5，call(5) = 9

　　由此猜测call(n) = 2 * F(n) - 1，下面用数学归纳法证明：

　　当n = 3时，等式成立。

　　假设n = k(k ≥ 3) 等式成立，即有：

　　call(k) = 2 * F(k) - 1

　　当n = k + 1时，

　　F(k+1) = F(k) + F(k-1)

　　call(k+1) = call(k) + call(k-1) + 1 = 2 * F(k) - 1 + 2 * F(k-1) -1 + 1 = 2 * F(k+1) - 1

　　所以，当n = k + 1时，等式也成立。

　　综上，call(n) = 2 * F(n) - 1 对 n ≥ 2都成立

　　所以，计算F(n)的时间复杂度T(n) = O(2 * F(n) - 1) = O(F(n)) ，

　　　　　　　　　　

T(n)近似为O(2ⁿ)。

　　F(n)的计算可以参考“斐波那契数列”的百度百科：https://baike.baidu.com/item/%E6%96%90%E6%B3%A2%E9%82%A3%E5%A5%91%E6%95%B0%E5%88%97。

　　2. 二叉树法

　　观察以下二叉树：

　　　　　　　　　　　　　　　　f(5)

　　　　　　　　　　　　　　   /　　　 \

　　　　　　　　　　　　　　f(4)　　　f(3)

　　　　　　　　　　　　　/　　\　　　/　　\

　　　　　　　　　　　   f(3)　　f(2)　f(2)　  f(1)

　　　　　　　　　　　/　　 \

　　　　　　　　　　f(2)　　f(1)

　　call(n)可以转化为求二叉树所有节点的个数。n = 5时，二叉树有4层，第一层有1个，第二层2个，第三层4个，第四层有2个。应用等比数列求和有call(n) = (1-2^n-2)/(1-2) + 2 = 2^n-2 + 1。T(n) = O(call(n)) = O(2^n-2 + 1) = O(1/4 * 2ⁿ + 1) = O(2ⁿ)。

方法2：顺序法（从左到右依次求）

实现：

#include <stdio.h>
#include <iostream>

using namespace std;

long long Fibonacci2(int n)
{
    long long temp1 = ;
    long long temp2 = ;
    long long result = ;

    if (n < )
    {
        return ;
    }
    if (n ==  || n == )
    {
        return ;
    }
    for (int i = ; i <= n; i++)
    {
        result = temp1 + temp2;
        temp1 = temp2;
        temp2 = result;
    }
    return result;
}

int main()
{
    char cont = 'y';
    int n = ;
    long long f = ;
    cout << "Enter an integer:" << endl;
    while (cin >> n)
    {
        f = Fibonacci2(n);
        cout << "Fibonacci2(" << n << ") = " << f << endl;
        cout << "Continue(y or n)?" << endl;
        cin >> cont;
        if (cont == 'y' || cont == 'Y')
        {
            cout << "Enter an integer:" << endl;
        }
        else
            break;
    }
    return ;
}

时间复杂度：

　　通过顺序计算求得第n项，时间复杂度T(n) = O(n)。

方法3：矩阵乘法

实现：

　　F(n) = F(n-1) + F(n-2)是一个二阶递推数列，可以用矩阵乘法的形式表示为：

　　[F(n), F(n-1)] = [F(n-1), F(n-2)] * [a, b; c, d]

　　带入n = 3, 4 可求出a = b = c = 1, d = 0。

　　递推可进一步得到[F(n), F(n-1)] = [F(2), F(1)] * [a, b; c, d]^n-2 = [1, 1] * [1, 1; 1, 0]^n-2，F(n)便迎刃而解。

　　简单介绍一下矩阵幂运算的实现过程。

　  矩阵幂运算：

　　以矩阵A的106次方为例，(106)₁₀  = (1101010)₂ = 2¹ + 2³ + 2⁵ + 2⁶ = 2 + 8 + 32 + 64，所以，

　　　　　　A¹⁰⁶ = A² * A⁸ * A³² * A⁶⁴，

　　计算过程：

1. result = E (单位矩阵)，A平方得A²　　   0
2. result *= A²，A²平方得A⁴　　
3. A⁴平方得A⁸                                       0
4. result *= A⁸，A⁸平方得A¹⁶　　
5. A¹⁶平方得A³²                                    0
6. result *= A³²，A³²平方得A⁶⁴　　
7. result *= A⁶⁴，A⁶⁴平方得A¹²⁸　　

　　即106的二进制形式有多少位，就要调用平方运算几次，这个次数p其实满足：2^p-1 ≤ n < 2^p，即p ≈ log₂(n)，这样就将方法2中复杂度为O(n)的计算降到了O(log₂(n))。

#include <stdio.h>
#include <iostream>

using namespace std;

enum Status { kValid = , kInvalid };
int g_nStatus = kValid;

class Matrix
{
public:
    Matrix(int rows, int cols);    // 构建一个全零矩阵
    int GetRows() const;        // 返回矩阵行数
    int GetCols() const;        // 返回矩阵列数
    long long **p;                // 指针数组
private:
    int rows_;                    // 矩阵行数
    int cols_;                    // 矩阵列数
};

Matrix::Matrix(int rows, int cols) : rows_(rows), cols_(cols)
{
    if (rows <  || cols_ < )
    {
        cout << "Matrix error!\n";
        g_nStatus = kInvalid;
        return;
    }
    // 分配空间
    p = new long long *[rows_];
    for (int i = ; i < rows_; i++)
    {
        p[i] = new long long[cols_];
    }
    // 初始化
    for (int i = ; i < rows_; i++)
    {
        for (int j = ; j < cols; j++)
        {
            p[i][j] = ;
        }
    }
}
int Matrix::GetRows() const
{
    return rows_;
}
int Matrix::GetCols() const
{
    return cols_;
}

// 矩阵乘法运算
Matrix MatrixMultiply(Matrix& m1, Matrix& m2)
{
    Matrix result(m1.GetRows(), m2.GetCols());
    if (m1.GetCols() == m2.GetRows())
    {
        for (int i = ; i < result.GetRows(); i++)
        {
            for (int j = ; j < result.GetCols(); j++)
            {
                for (int k = ; k < m1.GetCols(); k++)
                {
                    result.p[i][j] += m1.p[i][k] * m2.p[k][j];
                }
            }
        }
        g_nStatus = kValid;
    }
    return result;
}

// 矩阵幂运算
Matrix MatrixPowder(Matrix& m, int p)
{
    g_nStatus = kInvalid;
    Matrix result(m.GetRows(), m.GetCols());
    if (m.GetRows() == m.GetCols())
    {
        for (int i = ; i < result.GetRows(); i++)
        {
            result.p[i][i] = ;
        }
        for (; p != ; p >>= )
        {
            if ((p & ) != )
            {
                result = MatrixMultiply(result, m);
            }
            m = MatrixMultiply(m, m);
        }
    }
    return result;
}

long long Fibonacci3(int n)
{
    if (n < )
    {
        return ;
    }
    if (n ==  || n == )
    {
        return ;
    }
    Matrix m1(, );
    m1.p[][] = ;
    m1.p[][] = ;
    m1.p[][] = ;
    m1.p[][] = ;

    Matrix result = MatrixPowder(m1, n - );
    if (g_nStatus == kInvalid)
    {
        cout << "Matrix error!\n";
        return ;
    }
    return (result.p[][] + result.p[][]);
}

int main()
{
    char cont = 'y';
    int n = ;
    long long f = ;
    cout << "Enter an integer:" << endl;
    while (cin >> n)
    {
        f = Fibonacci3(n);
        cout << "Fibonacci(" << n << ") = " << f << endl;
        cout << "Continue(y or n)?" << endl;
        cin >> cont;
        if (cont == 'y' || cont == 'Y')
        {
            cout << "Enter an integer:" << endl;
        }
        else
            break;
    }
    return ;
}

时间复杂度：

　　时间复杂度等于求矩阵n次方的复杂度，即O(log₂n)。

总结：

三种方法的运行时间比较

可以明显感受到方法1的呈指数增长的时间复杂度。

方法1太耗时，下面再比较方法2和方法3：

方法3秒杀方法2！

感悟

　　写完这篇随笔，深深体会到了算法的神奇。完成基本需求也许不难，又快又好的完成就需要有算法的功底啦。