Reeds-Shepp曲线和Dubins曲线

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什么是Reeds-Shepp曲线？
       想象你下班开车回家，到了小区后想把车停到你个人的停车位里面。作为一个喜欢追求挑战的老司机，你想找一条最短的路径把车停进去。那么这样的路径是什么呢？答案就是Reeds-Shepp曲线。Reeds-Shepp曲线由Reeds和Shepp二人在1990年的文章《Optimal paths for a car that goes both forwards and backwards》中提出。
      Reeds-Shepp曲线是什么样的曲线？
      既然是最短路径，我们首先想到的就是直线段，那么它是直线吗？嗯…，在某些情况下，它确实是直线。比如下图左所示的情况，汽车车头刚好对准了停车位（绿色表示停车位，红色表示汽车的起始状态，灰色表示汽车，状态是指汽车的位置和车头的朝向）。可是实际显然不会这么简单，会有各种可能，比如下图右所示的情况：车在停车位的右侧，且车头和停车位平行（侧位停车）。由于汽车都有一个最小转向半径，所以你不能让汽车向螃蟹一样横着开进去，这时求最短路径就没那么简单了。图中汽车中心运动形成的黑色曲线就是Reeds-Shepp曲线。Reeds-Shepp曲线由几段半径固定的圆弧和一段直线段拼接组成，而且圆弧的半径就是汽车的最小转向半径。这里的路径长度是指汽车中心运动轨迹的长度，也就是所有圆弧的弧长和直线段的长度之和。

           

     下图展示了更一般的情况，汽车从不同的初始位置和朝向进入同一个停车位：

什么是Dubins曲线？
       Dubins曲线和Reeds-Shepp曲线差不多，只不过多了一个约束条件：汽车只能朝前开，不能后退（不能挂倒挡）。Dubins曲线由Dubins在1957年的文章《On curves of minimal length with a constraint on average curvature and with prescribed initial and terminal positions and tangents》中提出。Dubins曲线如下图所示。

 

Reeds-Shepp曲线和Dubins曲线对任意的起止位姿都存在吗？
      答案是肯定的，任意的起始状态和终止状态之间都存在这样的曲线，如下图所示。这时为了清晰起见，我用箭头表示汽车的朝向，红色曲线是Reeds-Shepp曲线，而黑色曲线是Dubins曲线。注意二者有时是重合的。

当环境中存在障碍物时，Reeds-Shepp曲线和Dubins曲线对任意的起止位姿都存在吗？
     Reeds-Shepp曲线和Dubins曲线特指没有障碍物时的最短路径。如果存在障碍物，那么这样的曲线不再是传统意义上的RS和Dubins曲线了，不过为了保持一致我们还是这么称呼它们吧。
     生活从来没那么简单，你在停车时可能周围会有各种障碍物，比如其它车辆、垃圾桶、树木。这时是否仍然存在RS曲线和Dubins曲线似乎没那么容易回答了。不过庆幸的是这个问题已经被人解决了，答案是：只要存在连接起止位姿的无碰撞路径，那么就存在无碰撞的Reeds-Shepp曲线。然而这个结果对Dubins曲线却不适用。这个答案好像没什么出人意料，不过稍微品味一下却让人很吃惊。注意这里的前提：“连接起止位姿的无碰撞路径”，除了无碰撞的要求以外，我没说其它任何的要求，比如存在一条类似“Z”这样完全由直线组成的折线路径也可以。很奇妙吧？不管你的路径由什么线（直线/任意曲线）组成，不管它有多怪异多扭曲，只要你能找到一条这样的路径，那么就一定存在满足要求的Reeds-Shepp曲线，即连接起止位姿，并且汽车不会碰到障碍物。在电影《车手》中就出现了神奇的一幕——汽车原地直角拐弯。其实理论上，不需要原地拐弯，汽车也能通过狭窄的直角胡同。

     理论上存在没有给我们提供实际寻找的方法，这时我们可以采用随机搜索的方法，如下图。（黑色表示障碍物）

      Dubins曲线和Reeds-Shepp曲线有什么用？
      这里我们以汽车为例介绍了最短路径。实际上，汽车只是一类更广泛系统的特例，这类系统叫做“非完整约束系统”。非完整约束系统就是受到非完整约束的系统（废话）。可以用直观的例子解释，人站在平地上就不受非完整约束，因为人可以往任意方向移动，前后左右随便你怎么动都可以。可是如果你骑在自行车上就受非完整约束了，因为你的运动方向受到前后轮的限制，只能沿着前轮指向的方向运动，尽管你可以通过调整车把改变前轮的朝向，但是你无法向车轮的侧方移动。当然，如果别人从侧面踹了你一脚或者路太滑，自行车可能会向侧方移动，这时你就违反非完整约束了，但是我们暂时不考虑这些特例。这些特例，比如路滑，确实有可能发生。可是为了让问题简单一点，我们不得不理想化处理，认为自行车车轮不会发生侧滑，哪怕一毫米也不会有。因此，具有车轮的东西都属于非完整约束系统，比如独轮车。注意这里的车轮是指普通的车轮，不包括特殊的车轮（比如麦克纳姆轮）。那些带挂斗有很多轮子的大货车属于非完整约束系统吗？这就要看情况了。一般货车挂斗上的轮子不能转向，在货车拐弯的时候，有些轮子必然会侧滑，至于哪些会侧滑取决于路面的条件。因此严格来说，它不是一个非完整约束系统，虽然看上去的表现像受到非完整约束。即便这样，我们也可以按照非完整约束处理。
      非完整约束有什么特别的地方吗？给车辆或移动机器人规划轨迹的工程师都不喜欢它，它也因为难以处理而臭名昭著。对于简单的系统，例如前面的汽车模型（相对于真实的汽车已经简化了），我们还能得到满足非完整约束的最短路径，可是对于复杂的模型就很难了，比如变量更多、约束形式更复杂的模型，或者环境中存在障碍物的情况。所以人们一般用Dubins曲线和Reeds-Shepp曲线作为复杂模型的近似最短路径，在实际执行时并不一定严格地遵循这些曲线。