【POJ 3764】The Xor-longest Path

题目

给定一个\(n\)个点的带权无根树，求树上异或和最大的一条路径。

\(n\le 10^5\)

分析

一个简单的例子

相信大家都做过这题：

给定一个\(n\)个点的带权无根树，有\(m\)个询问，要求树上两点之间的权值异或和。

\(n,m\le 10^7\)

Xor运算有一些很显然的性质：

\(a \oplus a = 0\)

\(a \oplus b = b \oplus a\)

\(a\oplus b\oplus c = a\oplus(b\oplus c)\)

对于这道水题，我们只需要随便取一个点作为根节点，预处理节点\(i\)到根节点的路径异或和\(dist[i]\)，然后\(a,b\)的路径的异或和即为\(dist[a]\oplus dist[b]\oplus dist[LCA(a,b)]\oplus dist[LCA(a,b)]=dist[a]\oplus dist[b]\)

回到本题

回到我们这题，我们只需要随便取一个点作为根节点，利用dfs处理出每个点到根节点的路径异或和，求这些异或和的最大异或即可，因为它们的LCA到根节点的路径被抵消了。

利用Trie实现求最大异或和。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 1e5 + 5;

struct edge {
	int to, nxt, val;
} edges[MAXN << 1];

int head[MAXN], path[MAXN], trie[MAXN << 5][2], num = 2, tot = 0, cnt = 0, n;
bool vis[MAXN];

void addedge(int from, int to, int val) {
	edges[cnt].to = to, edges[cnt].val = val, edges[cnt].nxt = head[from];
	head[from] = cnt++;
}

void dfs(int x, int w) {
	vis[x] = 1;
	path[tot++] = w;
	for(int i = head[x]; i != -1; i = edges[i].nxt) {
		if(!vis[edges[i].to]) {
			dfs(edges[i].to, w ^ edges[i].val);
		}
	}
}

void insert(int x) {
	int cur = 1;
	for(int i = 30; i >= 0; i--) {
		int p = (x >> i) & 1;
		if(trie[cur][p]) cur = trie[cur][p];
		else cur = trie[cur][p] = num++;
	}
}

int getmaxxor(int x) {
	int cur = 1, ans = 0;
	for(int i = 30; i >= 0; i--) {
		int p = ((x >> i) & 1) ^ 1;
		if(trie[cur][p]) {
			cur = trie[cur][p];
			ans = ans << 1 | 1;
		} else {
			cur = trie[cur][p ^ 1];
			ans <<= 1;
		}
	}
	return ans;
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	memset(head, 0xff, sizeof(head));
	int u, v, w;
	cin >> n;
	for(int i = 0; i < n - 1; i++) {
		cin >> u >> v >> w;
		addedge(u, v, w);
		addedge(v, u, w);
	}
	dfs(1, 0);
	int ans = 0;
	for(int i = 0; i < n; i++) insert(path[i]);
	for(int i = 0; i < n; i++) ans = max(ans, getmaxxor(path[i]));
	cout << ans << endl;
	return 0;
}