P4139 上帝与集合的正确用法

本题是欧拉定理的应用。我这种蒟蒻当然不知道怎么证明啦！

那么我们就不证明了，来直接看结论:

ab≡⎧⎩⎨⎪⎪ab%φ(p)abab%φ(p)+φ(p)gcd(a,p)=1gcd(a,p)≠1,b<ϕ(p)gcd(a,p)≠1,b≥ϕ(p)(modp)

或者

ab≡⎧⎩⎨⎪⎪ab%ϕ(p)           gcd(a,p)=1ab                  gcd(a,p)≠1,b<ϕ(p)ab%ϕ(p)+ϕ(p)    gcd(a,p)≠1,b≥ϕ(p)       (mod pab≡⎧⎩⎨⎪⎪ab%ϕ(p)           gcd(a,p)=1ab                  gcd(a,p)≠1,b<ϕ(p)ab%ϕ(p)+ϕ(p)    gcd(a,p)≠1,b≥ϕ(p)       (mod p)

或者观看这个

那么再来看本题，主要使用了后者：

所以可以写出递归式：

f(p)=qpow(2,f(ask_phi(p))+ask_phi(p),p);

得解。

题外话：我本来先打个表求出10^7以内的phi[]，然后直接调用的，结果全T...

发现n<=1000，就用了ask_phi()，然后就过了。

 #include <cstdio>
 using namespace std;
 const int N = ;
 typedef long long LL;

 LL phi[N];

 void make_phi(int n)
 {
     for(int i=;i<=n;i++) phi[i]=i;
     for(int i=;i<=n;i+=) phi[i]/=;
     for(int i=;i<=n;i+=)
     {
         if(phi[i]==i)
         {
             for(int j=i;j<=n;j+=i) phi[j]=(phi[j]/i)*(i-);
         }
     }
     return;
 }

 LL ask_phi(int x)
 {
     LL ans=x;
     for(int i=;i*i<=x;i++)
     {
         if(x%i==)
         {
             while(x%i==) x/=i;
             ans=(ans/i)*(i-);
         }
     }
     if(x>) ans=(ans/x)*(x-);
     return ans;
 }

 LL qpow(LL a,LL b,LL m)
 {
     LL ans=;
     while(b)
     {
         if(b&) ans=(ans*a)%m;
         b=b>>;
         a=(a*a)%m;
     }
     return ans;
 }

 LL f(int p)
 {
     if(p==) return ;
     return qpow(,f(ask_phi(p))+ask_phi(p),p);
 }

 int main()
 {
     int n,x;
     scanf("%d",&n);
     //make_phi(N);
     while(n--)
     {
         scanf("%d",&x);
         printf("%lld\n",f(x));
     }
     return ;
 }

AC代码

我们学到了什么姿势：

1.欧拉函数：φ(n)=[1,n]中与n互质的数的个数。

求phi(x):

 LL ask_phi(int x)
 {
     LL ans=x;
     for(int i=;i*i<=x;i++)
     {
         if(x%i==)
         {
             while(x%i==) x/=i;
             ans=(ans/i)*(i-);
         }
     }
     if(x>) ans=(ans/x)*(x-);
     return ans;
 }

ask_phi()

打表phi[]：

 void make_phi(int n)
 {
     for(int i=;i<=n;i++) phi[i]=i;
     for(int i=;i<=n;i+=) phi[i]/=;
     for(int i=;i<=n;i+=)
     {
         if(phi[i]==i)
         {
             for(int j=i;j<=n;j+=i) phi[j]=(phi[j]/i)*(i-);
         }
     }
     return;
 }

make_phi()

二进制快速幂：

 LL qpow(LL a,LL b,LL m)
 {
     LL ans=;
     while(b)
     {
         if(b&) ans=(ans*a)%m;
         b=b>>;
         a=(a*a)%m;
     }
     return ans;
 }

qpow()