P2424 约数和 && 真丶除法分块

P2424 约数和

题目背景

Smart最近沉迷于对约数的研究中。

题目描述

对于一个数X，函数f(X)表示X所有约数的和。例如：f(6)=1+2+3+6=12。对于一个X，Smart可以很快的算出f(X)。现在的问题是，给定两个正整数X,Y(X<Y)，Smart希望尽快地算出f(X)+f(X+1)+……+f(Y)的值，你能帮助Smart算出这个值吗？

输入输出格式

输入格式：

输入文件仅一行，两个正整数X和Y（X<Y），表示需要计算f(X)+f(X+1)+……+f(Y)。

输出格式：

输出只有一行，为f(X)+f(X+1)+……+f(Y)的值。

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**错误日志： 传导参数的时候没有用 \(LL\) **

Solution

首先利用前缀和的思想， 我们只要能求出 \(1 - n\) 的约数和的和， 就能求出一段区间的约数和的和

那么如何快速求出从 \(1\) 开始约数和的和呢

很朴素大暴力万岁！的算法是 \(O(\sqrt{n})\) 计算每个数的约数进行累加 ，然后慢到爆炸

我们可以换种思维， 考虑枚举约数

显然对于一个约数 \(d\) ， 在 \(1 - n\) 中出现过 \(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor\) 次， 所以这一约数贡献的答案为 \(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor * d\)

所以 \(1-n\) 总因数和为 $$\sum_{i = 1}^{n}\lfloor \frac{n}{i}\rfloor * i$$

这样依然需要枚举 \(1-n\) 这 \(n\) 个因数， \(O(n)\) 依然达不到复杂度要求

其实看到 \(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor\) 时我们很兴奋： 除法分块！

（之前学的除法分块是假的。。现在补个真的）

比如说当 \(n = 12\) 时， 我们分别计算 \(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\ (1 <= i <= n)\) 可以得到以下结果：

\(12,6,4,3,2,2,1,1,1,1,1,1\)

注意有部分连续的向下取整值是一样的！除法分块就是 利用打表找规律 来求出每个区间的左右端点以达到进行快速运算的目的

左端点很容易求解， 即为上一个右端点 +1（初始值为1）

右端点通过打表找规律可知： \(r = n / (n / l)\)

然后就先配一个除法分块的板子

for(LL l = 1,r;l <= n;l = r + 1){
		r = n / (n / l);
		//向下取整的答案为 (n / l)
		//区间长度为(r - 1 +1)
		//这里操作
		}

于是我们得到的这一个区间的每个因数的数量都是 \((n / l)\)

这些因数有哪些呢？ 当然就是 \(l - r\) 里头这些啦

然后很显然这些因数构成了一个等差数列， 单对于这一区间因数来说， 其和为 \((l + r) * (r - l + 1) / 2\)

每个因数有 \((n / l)\) 个， 所以这一区间对答案的贡献为 \((n / l) * (l + r) * (r - l + 1) / 2\)

于是有核心代码：

LL get_sum(LL n){
	LL ans = 0;
	for(LL l = 1,r;l <= n;l = r + 1){
		r = n / (n / l);
		ans += (n / l) * (l + r) * (r - l + 1) / 2;
		}
	return ans;
	}

前缀和一减就完事了， 复杂度 \(O(\sqrt{n})\)

最后感谢学长提供好题，真的搞懂了除法分块 （ヾ(^▽*)))）

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<climits>
typedef long long LL;
using namespace std;
LL RD(){
    LL out = 0,flag = 1;char c = getchar();
    while(c < '0' || c >'9'){if(c == '-')flag = -1;c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9'){out = out * 10 + c - '0';c = getchar();}
    return flag * out;
    }
LL x, y;
LL get_sum(LL n){
	LL ans = 0;
	for(LL l = 1,r;l <= n;l = r + 1){
		r = n / (n / l);
		ans += (n / l) * (l + r) * (r - l + 1) / 2;
		}
	return ans;
	}
int main(){
	x = RD(), y = RD();
	printf("%lld\n", get_sum(y) - get_sum(x - 1));
	return 0;
	}