382. Linked List Random Node（蓄水池采样）

1. 问题

给定一个单链表，随机返回一个结点，要求每个结点被选中的概率相等。

2. 思路

在一个给定长度的数组中等概率抽取一个数，可以简单用随机函数random.randint(0, n-1)得到索引来抽取。

本题是给定了链表，当然也好做，可以事先遍历一次求长度，每次要取的时候随机求索引，然后遍历一次。

时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)

或者事先把数据放到数组中，每次要取的时候随机求索引，然后直接取到对应的数。

时间复杂度O(1)，空间复杂度O(n)

（延伸一下）如果对于长度未知，会不断增加的数据流呢？可以使用蓄水池采样（Reservoir Sampling）的方法。如果我们要从n个数（这个n会不断增加）中等概率地抽取k个数，做法如下：

（1）先取数据流的前k个数，保存在数组reservoir中。

（2）对于第i个数（k+1 <= i <= n），以k/i的概率选择是否保留第i个数，如果第i个数被选中，则从reservoir中随机选择一个数，用第i个数代替它。

（3）重复迭代第二步，reservoir中的k个数就是我们要的结果。

蓄水池采样的证明

为什么这么做可以保证等概率抽取，这里证明一下。我们现在要做的事是等概率的抽取k个数。

（1）当只有k个数的时， 每个数被抽取的概率是k/k（也就是1啦），k个数都放到蓄水池中。

（2）假设现在增加了一个数，第k+1个数，用k/(k+1)的概率选择是否保留，此时第k+1个数被保留的概率是k/(k+1)。

对于蓄水池中的k个数，它们被留下的概率是多少呢？它们原来的概率都是1，但是现在新来了一个数据，每个数据都面临被淘汰的风险。

淘汰的概率为（第k+1个数被选中的概率）乘以（每个数据被选中去淘汰的概率），即k/(k+1)*(1/k) = 1/(k+1)。

那么被留下的概率就是 1 - （被淘汰的概率） = 1- 1/(k+1) = k/(k+1)。

但是这个概率还要乘上原来被保留的概率k/k，也就是1啦，所以不用乘了，就是k/(k+1)

这样一来，所有的数据被留下的概率都是k/(k+1)，满足等概率抽取，得证。

（3）推广到k+2，k+3到n和步骤二中是一样的道理。

假设现在增加了一个数，第m个数，用k/m的概率选择是否保留，此时第m个数被保留的概率是k/m。

对于蓄水池中的k个数，它们原来的被保留概率是k/(m-1)，但是现在新来了一个数据，每个数据都面临被淘汰的风险。

淘汰的概率为（第m个数被选中的概率）乘以（每个数据被选中去淘汰的概率），即k/m * (1/k) = 1/m。

那么被留下来的概率就是1 - （被淘汰的概率）= 1 - 1/m = (m-1)/m。

但是这个概率还要乘上原来的被保留概率k/(m-1)，即 (m-1)/m * ( k/(m-1)) = k/m。

这样一来，所有的数据被留下的概率都是k/m，满足等概率抽取，得证。

时间复杂度O(n)，空间复杂度O(k)，k为要取的数的个数，本题中k等于1。

3. 代码

每次random索引，然后遍历链表的做法

# Definition for singly-linked list.
# class ListNode(object):
#     def __init__(self, x):
#         self.val = x
#         self.next = None
class Solution(object):
    def __init__(self, head):
        self.head = head
        p = head
        i = 0
        while p != None:
            i += 1
            p = p.next
        self.n = i

    def getRandom(self):
        i = random.randint(0,self.n-1)
        p = self.head
        while i:
            p = p.next
            i -= 1
        return p.val

先用数组存起来，每次random索引后直接取得

class Solution(object):
    def __init__(self, head):
        self.nums = []
        while head != None:
            self.nums.append(head.val)
            head = head.next

    def getRandom(self):
        i = random.randint(0,len(self.nums)-1)
        return self.nums[i]

蓄水池采样

import random
class ListNode(object):
    def __init__(self, x):
        self.val = x
        self.next = None

class Solution(object):
    def __init__(self, head):
        self.head = head

    def getRandom(self):
        p = self.head
        num = p.val
        count = 2
        while p.next:
            p = p.next
            if(random.random() < 1.0/count):
                num = p.val
            count += 1
        return num

4. 类似题目

398. Random Pick Index