[HIMCM暑期班]第4课: 扑克牌问题

假设跟你玩这样一个游戏：

拿一副52张牌的扑克，洗均匀。每次展示一张牌，如果是红心或者方块，你就赢10块钱；如果是黑桃或者草花，你就输10块钱。你可以选择在任何时候终止此游戏。问如何确保利益最大化？

分析：

1. 玩这个游戏，你不可能会输钱。因为最坏的情况下，你把这个游戏玩到结束，肯定是不赚不赔收场的。

2. 什么时候退出，决定了收益的多少。

3. 要使用数学期望来衡量利益最大化。

4. 一种简单的策略是，只要赢10块钱，就退出。请问在这种策略下，你赢钱的数学期望是多少？

5. 再简化一下问题，如果只有3张红牌3张黑牌，在4的条件下，问数学期望是多少？

现在来解决数学期望的问题，假设有6张牌，3红3黑，那么第一次抽牌的数学期望。这里使用类似决策树（其实是最简化的一种）的方案来实现：

Ⅰ第一次抽到红：3/6 √

Ⅱ第一次抽到黑：3/6

①第二次抽到红：3/5

1. 第三次抽到红：2/4 √

2. 第三次抽到黑：2/4

A. 第四次抽到红2/3

a）第五次抽到红1/2 √

b) 第五次抽到黑1/2 ×

B. 第四次抽到黑1/3 ×

②第二次抽到黑：2/5

1. 第三次抽到红：3/4

A. 第四次抽到红2/3

a) 第五次抽到红1/2 √

b) 第五次抽到黑1/2 ×

B. 第四次抽到黑1/3 ×

2. 第三次抽到黑：1/4 ×

这里打勾√表示挣到10块钱退出，打叉×表示最后要平局收场。统计一下所有打勾的情况的加权平均数：

3/6+3/6×3/5×2/4+3/6×3/5×2/4×2/3×1/2+3/6×2/5×3/4×2/3×1/2

= 1/2+1/20+3/20+1/20

= 15/20 = 3/4

即是答案。

结论：

这节课上主要介绍了数学期望这个概念，然后对一些排列组合的问题进行了简单的分析和练习。下一节课还会在此问题上进行展开。