最短路径（SP）问题相关算法与模板

相关概念：

有向图、无向图：有向图的边是双行道，无向图的边是单行道。在处理无向图时，可以把一条无向边看做方向相反的两条有向边。

圈 cycle / 回路 circuit：在相同顶点上开始并结束且长度大于0的通路。

环 loop：起点与终点重合的边。

负圈：含有负权边的圈。

	问题类型？	是否兼容负圈？	时间复杂度？
Bellman-Ford	单源	√	O(V·E)
Dijkstra	单源	×	O(E·logV)
Floyd-Warshall	任意点对	√	O(V3)

1. Bellman-Ford 算法（单源） O(VE)

设d[]存放最短路径，对于每条边(from, to)，d[to] = d[from] + cost 一定成立。

由于边在es[]中存储顺序的关系，可能出现计算到 d[to] 时 d[from] 还没出现的情况，此时d[to] 的值会继续保持INF，等到下一次循环再被更新。

当图中存在V个点时，从起点s出发共有V-1条路径，因此外层循环最多执行V-1次就能消除d[]中所有INF，并得到结果。如果图中存在负圈，最短路径会不断减小，外层循环执行次数就会超过V-1，因此只需检查更新次数是否达到V就能判断是否存在负圈。

 1 struct edge{int from,to,cost;};
 2
 3 edge es[MAX_E];
 4 int d[MAX_V];  //shortest paths
 5 int V,E;  //number of vertices and edges
 6
 7 bool bellman_ford(int s)
 8 {
 9     for(int i=0;i<V;i++) //vertices are indexed from 0
10         d[i]=INF;
11     d[s]=0;
12     int n=0;
13     for(n=0;n<V;n++){  //to be executed |V|-1 times at most
14         bool update=false;
15         for(int i=0;i<E;i++){
16             edge e=es[i];
17             if(d[e.from]!=INF && d[e.to]>d[e.from]+e.cost){
18                 d[e.to]=d[e.from]+e.cost;
19                 update=true;
20             }
21         }
22         if(!update)
23             break;
24         if(n==V-1)  //negative loops exists
25             return true;26     }
27     return false;
28 }

2.Dijkstra 算法（单源、无负圈）O(E·logV)

该算法的核心在于从已经确定最短路径的点出发，寻找相邻点的最短路径。

令d[s]=0，先更新s所有邻居的sp，入队，再从s所有邻居开始，更新它们的邻居的sp，以此类推……

借助升序优先队列，优先执行sp值小的点，可以避免内层for循环被不断执行，有效减小时间复杂度。

 1 struct edge{int to,cost;};
 2 typedef pair<int,int> P;  //first:sp  second:termination
 3
 4 int V,E;
 5 vector<edge> G[MAX_V];  //adjcent list
 6 int d[MAX_V];
 7
 8 void dijkstra(int s)
 9 {
10     priority_queue<P,vector<P>,greater<P>> que;  //#include <queue>
11     fill(d,d+V+1,INF);
12     d[s]=0;
13     que.push(P(0,s));
14
15     while(!que.empty()){
16         P p=que.top(); que.pop();
17         int v=p.second;
18         if(d[v]<p.first) continue;
19         for(int i=0;i<G[v].size();i++){
20             edge e=G[v][i];
21             if(d[e.to]>d[v]+e.cost){
22                 d[e.to]=d[v]+e.cost;
23                 que.push(P(d[e.to],e.to)); //newly updated sp may change the sp of its neighbours
24             }
25         }
26     }
27 }

计算最短路径条数的方法：

维护数组 int cnt[MAX_V] 并初始化为 cnt[]=0; cnt[s]=1;

if ( d[e.to] > d[v]+e.cost )　　cnt[e.to]=cnt[v]

else if ( d[e.to] == d[v]+e.cost )　　cnt[e.to]+=cnt[v]

3.Floyd-Warshall 算法（任意点间） O(V³)

对于每个点对(i, j ) ，枚举中间点 k。i 到 j 的最短路径取经过中间点 k 和不经过中间点 k 两种情况的结果的最小值。

需要初始化：d[i][i]=0，不存在=INF

int d[MAX_V][MAX_V];  //weight of edges
int V,E;

void floyd_warshall()
{
    for(int k=0;k<V;k++)
        for(int i=0;i<V;i++)
            for(int j=0;j<V;j++)
                d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);
}

参考《挑战程序设计竞赛》（第二版），99-104；离散数学及其应用（中文第七版），595-612