机器学习中几乎都可以看到损失函数后面会添加一个额外项,常用的额外项一般有两种,一般英文称作ℓ1ℓ1-norm和ℓ2ℓ2-norm,中文称作L1正则化L2正则化,或者L1范数L2范数

L1正则化和L2正则化可以看做是损失函数的惩罚项。所谓『惩罚』是指对损失函数中的某些参数做一些限制。对于线性回归模型,使用L1正则化的模型建叫做Lasso回归,使用L2正则化的模型叫做Ridge回归(岭回归)。下图是Python中Lasso回归的损失函数,式中加号后面一项α||w||1α||w||1即为L1正则化项。

L1正则化和L2正则化的说明如下:

  • L1正则化是指权值向量ww中各个元素的绝对值之和,通常表示为||w||1||w||1
  • L2正则化是指权值向量ww中各个元素的平方和然后再求平方根(可以看到Ridge回归的L2正则化项有平方符号),通常表示为||w||2||w||2

一般都会在正则化项之前添加一个系数,Python中用αα表示,一些文章也用λλ表示。这个系数需要用户指定。

那添加L1和L2正则化有什么用?下面是L1正则化和L2正则化的作用,这些表述可以在很多文章中找到。

  • L1正则化可以产生稀疏权值矩阵,即产生一个稀疏模型,可以用于特征选择
  • L2正则化可以防止模型过拟合(overfitting);一定程度上,L1也可以防止过拟合
  • 稀疏模型与特征选择

    上面提到L1正则化有助于生成一个稀疏权值矩阵,进而可以用于特征选择。为什么要生成一个稀疏矩阵?

    稀疏矩阵指的是很多元素为0,只有少数元素是非零值的矩阵,即得到的线性回归模型的大部分系数都是0. 通常机器学习中特征数量很多,例如文本处理时,如果将一个词组(term)作为一个特征,那么特征数量会达到上万个(bigram)。在预测或分类时,那么多特征显然难以选择,但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型,表示只有少数特征对这个模型有贡献,绝大部分特征是没有贡献的,或者贡献微小(因为它们前面的系数是0或者是很小的值,即使去掉对模型也没有什么影响),此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系。

    L1和L2正则化的直观理解

    这部分内容将解释为什么L1正则化可以产生稀疏模型(L1是怎么让系数等于零的),以及为什么L2正则化可以防止过拟合

    L1正则化和特征选择

    假设有如下带L1正则化的损失函数:

     
    J=J0+α∑w|w|(1)(1)J=J0+α∑w|w|

    其中J0J0是原始的损失函数,加号后面的一项是L1正则化项,αα是正则化系数。注意到L1正则化是权值的绝对值之和,JJ是带有绝对值符号的函数,因此JJ是不完全可微的。机器学习的任务就是要通过一些方法(比如梯度下降)求出损失函数的最小值。当我们在原始损失函数J0J0后添加L1正则化项时,相当于对J0J0做了一个约束。令L=α∑w|w|L=α∑w|w|,则J=J0+LJ=J0+L,此时我们的任务变成在LL约束下求出J0J0取最小值的解。考虑二维的情况,即只有两个权值w1w1和w2w2,此时L=|w1|+|w2|L=|w1|+|w2|对于梯度下降法,求解J0J0的过程可以画出等值线,同时L1正则化的函数LL也可以在w1w2w1w2的二维平面上画出来。如下图:

     
    图1 L1正则化

    图中等值线是J0J0的等值线,黑色方形是LL函数的图形。在图中,当J0J0等值线与LL图形首次相交的地方就是最优解。上图中J0J0与LL在LL的一个顶点处相交,这个顶点就是最优解。注意到这个顶点的值是(w1,w2)=(0,w)(w1,w2)=(0,w)。可以直观想象,因为LL函数有很多『突出的角』(二维情况下四个,多维情况下更多),J0J0与这些角接触的机率会远大于与LL其它部位接触的机率,而在这些角上,会有很多权值等于0,这就是为什么L1正则化可以产生稀疏模型,进而可以用于特征选择。

    而正则化前面的系数αα,可以控制LL图形的大小。αα越小,LL的图形越大(上图中的黑色方框);αα越大,LL的图形就越小,可以小到黑色方框只超出原点范围一点点,这是最优点的值(w1,w2)=(0,w)(w1,w2)=(0,w)中的ww可以取到很小的值。

    类似,假设有如下带L2正则化的损失函数:

     
    J=J0+α∑ww2(2)(2)J=J0+α∑ww2

    同样可以画出他们在二维平面上的图形,如下:

     
    图2 L2正则化

    二维平面下L2正则化的函数图形是个圆,与方形相比,被磨去了棱角。因此J0J0与LL相交时使得w1w1或w2w2等于零的机率小了许多,这就是为什么L2正则化不具有稀疏性的原因。

    L2正则化和过拟合

    拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小,最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单,能适应不同的数据集,也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程,若参数很大,那么只要数据偏移一点点,就会对结果造成很大的影响;但如果参数足够小,数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响,专业一点的说法是『抗扰动能力强』。

    那为什么L2正则化可以获得值很小的参数?

    以线性回归中的梯度下降法为例。假设要求的参数为θθ,hθ(x)hθ(x)是我们的假设函数,那么线性回归的代价函数如下:

     
    J(θ)=12m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))2(3)(3)J(θ)=12m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))2

    那么在梯度下降法中,最终用于迭代计算参数θθ的迭代式为:

     
    θj:=θj−α1m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))x(i)j(4)(4)θj:=θj−α1m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))xj(i)

    其中αα是learning rate. 上式是没有添加L2正则化项的迭代公式,如果在原始代价函数之后添加L2正则化,则迭代公式会变成下面的样子:

     
    θj:=θj(1−αλm)−α1m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))x(i)j(5)(5)θj:=θj(1−αλm)−α1m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))xj(i)

    其中λλ就是正则化参数。从上式可以看到,与未添加L2正则化的迭代公式相比,每一次迭代,θjθj都要先乘以一个小于1的因子,从而使得θjθj不断减小,因此总得来看,θθ是不断减小的。

    最开始也提到L1正则化一定程度上也可以防止过拟合。之前做了解释,当L1的正则化系数很小时,得到的最优解会很小,可以达到和L2正则化类似的效果。

  • 原文出处:https://blog.csdn.net/jinping_shi/article/details/52433975
  • 感谢该文作者,本文主要留档后期复习归纳总结(非原创)

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