算法学习 - ST表 - 稀疏表 - 解决RMQ问题

2017-08-26 21:44:45

writer：pprp

RMQ问题就是区间最大最小值查询问题；

这个SparseTable算法构造一个表，F[i][j] 表示 区间[i, i + 2 ^ j -1]的最大或者最小值

ST分为两个部分

1、nlogn的预处理

预处理主要用到了动态规划，二分区间每个区间长度为 2 ^ (j -1)找到一个递推关系；

F[i][j] = min(F[i][j - 1],F[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);

2、查询部分更为巧O(1)得到询问结果

对于任意一个区间【n,m】来说，可以将其划分为两个以上区间的和

【m,n】 = 【m, m+2^k-1】 + 【n-2^k-1,n】

其中k = log2(n-m+1)

实现的代码如下：

/*
@theme:ST表（sparse table）稀疏表
@writer:pprp
@declare:用动态规划的思想来解决RMQ问题；
@date:2017/8/26
*/

/*方程
F[i,j]:区间[i,i + 2^j - 1]的最小值，此时区间长度为2^j
转移方程：F[i,j] = min(F[i,j - 1],F[i + 2^(j - 1),j - 1])
初始化：F[i,0] = nArr[i];
*/

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int F[][];//待比较元素的个数最大为1百万

void SparseTable(int a[], int len)
{
    //初始化
    for(int i =  ; i < len ; i++)
        F[i][] = a[i];
    //递推
    //找到j的范围log2(n)
    int nlog = int(log(double(len))/log(2.0));
    for(int j =  ; j <= nlog; j++)
    {
        for(int i =  ; i < len ; i++)
        {
            //区间右端点不能超过数组最后一位下标
            if((i + ( << j) -) < len )
            {
                F[i][j] = min(F[i][j - ],F[i + ( << (j - ))][j - ]);
            }
        }
    }
}

int RMQ(int a[], int len, int Start, int End)
{
    //中间变量的选取log2(len)
    int nlog = (int)(log(double(End-Start+))/log(2.0));

    return min(F[Start][nlog], F[End - ( << nlog) + ][nlog]);
}

int main()
{
    int a[] = {,,,,,,,,,,,,,,,};

    for(int i =  ; i <  ; i++)
    {
        cout << a[i] <<" ";
    }
    cout << endl;

    SparseTable(a,);
    int l, r;
    while(cin >> l >> r)
    {
        cout << RMQ(a,,l,r) << endl;
    }
    return ;
}

ST模板

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int F[][];
void ST(int a[],int len)
{
    for(int i =  ; i < len ; i++)
        F[i][] = a[i];
    int nlog = int(log(double(len))/log(2.0));
    for(int j = ; j <= nlog; j++)
    {
        for(int i =  ; i < len ; i++)
        {
            if(i+(<<j)- < len)
                F[i][j] = max(F[i][j-],F[i+(<<(j-))][j-]);
        }
    }
}

int RMQ(int a[],int len, int l, int r)
{
    int nlog = floor(log(double(r-l+))/log(2.0));
    return max((F[l][nlog]),F[r-(<<nlog)+][nlog]);
}

int main()
{
    int a[];
    int n;
    cin >> n;
    for(int i =  ; i < n ; i++)
        cin >> a[i];
    ST(a,n);
    int l,r;
    int cas;
    cin >> cas;
    while(cas--)
    {
        cin >> l >> r;
        cout << RMQ(a,n,l,r) << endl;
    }

    return ;
}