[CF1093G]Multidimensional Queries 题解

前言

DennyQi太巨了!

定义一个点\(a\)，\(a_x\)表示\(a\)在第\(x\)维空间上的坐标值

题解

这题的思路珂以说非常巧妙(原谅我又用了这个"珂")，

我们知道曼哈顿距离是\(\sum|a_i-b_i|\)，\(|a_i-b_i|\)其实也珂以看作是\((a_i-b_i)\)和\((b_i-a_i)\)中较大的那个。

根据上面的分析曼哈顿距离珂以看作是\(\sum max(a_i-b_i,b_i-a_i)\)，

继续分析珂以得出，每个点在每一维度上要应用的无非只有两种情况\(a_i\)，\(-a_i\)。

由于区间内取两点求最小值要求每个点都是完整的(就是说一旦选取了该点那么必定会用到该点所有维度上的坐标)，那么也就意味着对于一个点，它最多可能(仅为可能)用到的状态会是\(2^k\)次方个。

本题坐标只有5维，电脑不是人脑，那么显然我们珂以枚举解决以上问题。

那么求曼哈顿距离的时候便利所有\(a_i\)的正负性，显然若\(a_i\)为正，\(b_i\)即负；\(a_i\)为负，\(b_i\)为正。

如果用一个二进制状态来压缩，1表示\(a_i\)为正，0表示\(a_i\)为负，显然任意一组关于\(a\)的状态，记为\(sta\)，

对应的\(b\)的装态表示为\((((2^k) - 1) - sta)\)也珂以记作\((((2^k) - 1)\ \textbf{xor}\ sta)\)。

那么用一个线段树维护，每一个节点表示对应的区间\([l,r]\)内的曼哈顿距离最大值。

上传标记非常简单就是暴力取两个子节点，然后取对于每一种正负性的珂能，都取max即可。

inline void pushUp(int pos){
	for (int i = 0; i < max_sta; ++i)
		seg[pos].f[i] = max(seg[pos << 1].f[i], seg[pos << 1 | 1].f[i]);
}

同理应用于合并query时的左右子树的结果。

例子

如果您没有看懂上面的文字，我们不妨来举一个例子。

若\(k=3\)时有两个点\(a,b\)坐标分别记为\((1,2,3),(-1,2,4)\)

那么对于点a来说有\(2^3=8\)种状态，

即\((1,2,3),(1,2,-3),(1,-2,3),(1,-2,-3),\)

  \((-1,2,3),(-1,2,-3),(-1,-2,3),(-1,-2,-3)\)

同理b也有\(2^3=8\)种状态，对于这\(a,b\)的\(8\)种状态两两对应，也就是

\((1,2,3)\)对应\((-(-1),-2,-4)\dots\)这些互相对应的状态取max以后也就是 \(\sum|a_i-b_i|\)啦QAQ

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

struct Pos{
	int f[32];
} seg[800005];

int n, k, max_sta;

inline void pushUp(int pos){
	for (int i = 0; i < max_sta; ++i)
		seg[pos].f[i] = max(seg[pos << 1].f[i], seg[pos << 1 | 1].f[i]);
}

int tmppos[5];

void build(int pos, int l, int r){
	if (l == r){
		for (int i = 0; i < k; ++i) scanf("%d", &tmppos[i]);
		for (int i = 0; i < max_sta; ++i){
			seg[pos].f[i] = 0;
			for (int j = 0; j < k; ++j)
				if (i & (1 << j))
					seg[pos].f[i] += tmppos[j];
				else
					seg[pos].f[i] -= tmppos[j];
		}
		return ;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	build(pos << 1, l, mid), build(pos << 1 | 1, mid + 1, r);
	pushUp(pos);
}

inline void mrg(Pos &a, Pos b){
	for (int i = 0; i < max_sta; ++i)
		a.f[i] = max(a.f[i], b.f[i]);
}

Pos query(int pos, int l, int r, int x, int y){
	if (x <= l && r <= y) return seg[pos];
	int mid = (l + r) >> 1;
	Pos res;
	if (x <= mid)
		res = query(pos << 1, l, mid, x, y);
	if (y > mid){
		if (x <= mid)
			mrg(res, query(pos << 1 | 1, mid + 1, r, x, y));
		else
			res = query(pos << 1 | 1, mid + 1, r, x, y);
	}
	return res;
}

void modify(int pos, int l, int r, int x){
	if (l == r){
		for (int i = 0; i < max_sta; ++i){
			seg[pos].f[i] = 0;
			for (int j = 0; j < k; ++j)
				if (i & (1 << j))
					seg[pos].f[i] += tmppos[j];
				else
					seg[pos].f[i] -= tmppos[j];
		}
		return ;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	if (x <= mid) modify(pos << 1, l, mid, x);
	else modify(pos << 1 | 1, mid + 1, r, x);
	pushUp(pos);
}

int main(){
	scanf("%d %d", &n, &k); max_sta = 1 << k;
	build(1, 1, n);
	int q; scanf("%d", &q);
	while (q--){
		int op; scanf("%d", &op);
		int i;
		if (op == 1){
			scanf("%d", &i);
			for (int j = 0; j < k; ++j)
				scanf("%d", &tmppos[j]);
			modify(1, 1, n, i);
		}
		else if (op == 2){
			int l, r; scanf("%d %d", &l, &r);
			Pos res = query(1, 1, n, l, r);
			int ans = 0;
			for (int i = 0; i < (1 << (k - 1)); ++i)
				ans = max(ans, res.f[i] + res.f[(max_sta - 1) ^ i]);
			printf("%d\n", ans);
		}
	}
	return 0;
}