洛谷P8567 真·基础数论问题

基础数论重定向

今天蒟蒻切水题切到一道建议评黄的红题，一下子给我整不会了……

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理解题意

首先，我们要理解题意。

[JRKSJ R6] Nothing

我们定义 \(f(x)\) 表示 \(x\) 在 \(2\) 进制下最低的 \(1\) 的位置（你需要注意，二进制下的最低位是第 $0 $ 位）。以下是其在 C++ 语言中的代码（未考虑数据类型造成的问题）：

int f(int x){
	int ans = 0;
	while (x % 2 == 0){
		x /= 2;
		ans += 1;
	}
	return ans;
}

共有 \(T\) 组询问，每组询问给定区间 \([l,r]\)，求有多少个 \(i\in [l,r]\) 使得 \(f(i)< f(i+1)\)。

打眼一看这啥呀？让我给你翻译翻译什么叫￥#@惊喜……

这题的意思就是：定义\(f(x)=(n)max\) 使得 \(x \ mod \ 2^n==0\)

继续翻译：\(f(x)\)指的是数\(x\)的二进制的从右往左数的第一个\(1\)前面的\(0\)的个数。

还是不懂？我们来一套数据帮助理解：

我们这里有一个数：\(114514\)

我们将这个数转化成二进制：

\(11011111101010010\)

可以看到这个数的\(f(x)\)指的是数\(x\)的二进制的从右往左数的第一个\(1\)前面的\(0\)的个数是1。

而整道题的意思就是给定区间\([l,r]\)要求出在这个区间符合\(f(x) < f(x+1)\)的\(x\)的个数。

思路

我们先看看数据规模哈：

数据规模

本题采用捆绑测试。

\(\text{Subtask}\)	\(T\le\)	特殊限制	\(\text{Score}\)
\(1\)	\(10^5\)	\(l=r\)	\(10\)
\(2\)	\(10^4\)	\(r-l\le10^3\)	\(30\)
\(3\)	\(10^5\)	\(r\le10^6\)	\(20\)
\(4\)	\(10^5\)	无	\(40\)

对于 \(100\%\) 的数据，\(1\le T\le 10^5\)，\(1\le l\le r\le 10^{18}\)。

首先考虑一下，既然玩的是二进制，那我们敏锐的认为与奇偶性有关。

我们仔细研究后得出以下几条性质：

• 奇数后面一定是偶数，偶数后面一定是奇数（废话……）
• 对于任意偶数\(x\)，不满足\(f(x) < f(x+1)\)
• 对于任意奇数\(x\)，满足\(f(x) < f(x+1)\)

我们来看下怎么出来的：

首先奇数的二进制最右边一定是1，因为它无法被2整除。

然后偶数的二进制最右边一定是0，因为它能被2整除。

如果实在理解不了我们打一个奇偶数表来看看：

数字	二进制
\(1\)	\(1\)
\(2\)	\(10\)
\(3\)	\(11\)
\(4\)	\(100\)
\(5\)	\(101\)
\(6\)	\(110\)
\(7\)	\(111\)
\(8\)	\(1000\)
\(9\)	\(1001\)
\(10\)	\(1010\)

就能发现奇数末尾是1，偶数末尾是0。

这几个性质你可以细品品，就能发现，哇！

这道题我们已经 \(O(1)\)解决了！

怎么解决的？

对于一个区间\([l,r]\),我们找到其中奇数的个数就行了！。

怎么找呢？

代码T_T

请看代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long l,r,ans;
int main(){
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%lld %lld",&l,&r);
		if(l==r){
			printf("%lld\n",l%2);
		}else{
			ans=0;
			if(l%2){
				ans++;
				l++;
			}
			if(r%2){
				ans++;
				r--;
			}
			if(l>r){
				printf("%lld\n",ans);
			}else{
				printf("%lld\n",(r-l)/2+ans);
			}
		}
	}
	return 0;
}

思路大致是这样：

• 如果l==r，那么直接输出l是否为奇数。
• 如果不相等
  • 如果l为奇数，l+1，ans+1
  • 如果r为奇数，r-1，ans+1
• 此时l，r一定都为偶数。
• 若l超过r直接输出ans
• 若没有，ans+(r-l)/2便是答案，这个自己推一下就好

完结撒花