LA-4726 (斜率优化+单调队列)

题意：

给定一个01序列,选一个长度至少为L 的连续子序列使其平均值最大;输出这个子序列的起点和终点;如果有多个答案,输出长度最小的,还有多个就输出第一个编号最小的;

思路：

用sum[i]表示[1,i]的和;题目的平均值就可以变成(sum[i]-sum[j-1])/(i-(j-1));

问题也变成求横坐标的距离至少为L的两点连线斜率最大的那两点的横坐标是多少？

对于每个点作为横坐标较大的点,判断横坐标距离最少为L的点,指针r维护这些点是一个下凸线,指针l维护与当前点斜率最大点;

复杂度是O(n)的,具体的解释分析可见《浅谈数形结合在信息学竞赛中的应用》;

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

#define For(i,j,n) for(int i=j;i<=n;i++)
#define mst(ss,b) memset(ss,b,sizeof(ss));

typedef  long long LL;

template<class T> void read(T&num) {
    char CH; bool F=false;
    for(CH=getchar();CH<'0'||CH>'9';F= CH=='-',CH=getchar());
    for(num=0;CH>='0'&&CH<='9';num=num*10+CH-'0',CH=getchar());
    F && (num=-num);
}
int stk[70], tp;
template<class T> inline void print(T p) {
    if(!p) { puts("0"); return; }
    while(p) stk[++ tp] = p%10, p/=10;
    while(tp) putchar(stk[tp--] + '0');
    putchar('\n');
}

const LL mod=1e9+7;
const double PI=acos(-1.0);
const int inf=1e9;
const int N=1e5+10;
const int maxn=1e3+10;
const double eps=1e-10;

char s[N];
int sum[N],a[N];

int main()
{
          int t ;
          read(t);
          while(t--)
          {
                  int n,L;
                  read(n);read(L);
                  scanf("%s",s);
                  For(i,0,n-1)
                      sum[i+1]=sum[i]+s[i]-'0';
                  //For(i,1,n)cout<<sum[i]<<" ";
                  int r = -1,l = 0,ans1=0,ans2=L,x=sum[L],y=L;
                  For(i,L,n)
                  {
                      while(r>l)
                      {
                          if((sum[i-L]-sum[a[r]])*(a[r]-a[r-1])<=(sum[a[r]]-sum[a[r-1]])*(i-L-a[r]))r--;
                          else break;
                      }
                      a[++r]=i-L;
                      while(l<r)
                      {
                          if((sum[i]-sum[a[l+1]])*(i-a[l])>=(sum[i]-sum[a[l]])*(i-a[l+1]))l++;
                          else break;
                      }
                      if((sum[i]-sum[a[l]])*y>x*(i-a[l]))
                      {
                          x=sum[i]-sum[a[l]];
                          y=i-a[l];
                          ans1=a[l];
                          ans2=i;
                      }
                      else if((sum[i]-sum[a[l]])*y==x*(i-a[l]))
                      {
                          if(i-a[l]<y)
                          {
                              x=sum[i]-sum[a[l]];
                              y=i-a[l];
                              ans1=a[l];
                              ans2=i;
                          }
                      }
                      //cout<<i<<" "<<l<<" "<<r<<"@@"<<endl;
                  }
                  cout<<ans1+1<<" "<<ans2<<"\n";
          }
        return 0;
}