洛谷P4204 [NOI2006]神奇口袋 数论

正解:数论

解题报告:

　　传送门
　　第一次用\(\LaTeX\)和\(markdown\),,,如果出了什么锅麻烦在评论跟我港句QAQ
　　\(1)x_{i}\)可以直接离散
　　\(2)y_{i}\)的顺序对结果麻油影响
　　事实上从上面两个结论就可以得到这题的正解,,,
　　直接按顺序读入然后每次对\(a_{y_{i}}+=d\)就好
　　下面写证明,,,
　　先证第一条趴\(QwQ\)
　　　　假设在第\(k\)步的时候,各个球的数量是\(a_{1},a_{2},a_{3}...a_{n}\),总数是\(sum\)
　　　　然后在第\(k+1\)步想拿到颜色\(y\)的概率就会是
　　　　第\(k\)步拿到了颜色\(y:\frac{a[y]}{sum}*\frac{a[y]+d}{sum+d}\)
　　　　　　　　　加上
　　　　第\(k\)步麻油拿到颜色\(y:\frac{sum-a[y]}{sum}*\frac{a[y]}{sum+d}\)
　　　　化简一下可得答案就\(\frac{a[y]}{sum}\)
　　　　然后数学归纳法可得如果麻油任何约束的话就每次的答案一定都是\(\frac{a[y]}{sum}\)了,也就是说\(x_{i}\)可以直接离散
　　　　但是这里之前\(gql\)傻逼了好久,,,一直麻油想通,,,这里的建议是,如果能想通当然是最好,没想通的话可以多考虑一轮这样的,,,这样就能懂了,,,
　　　　不想举\(eg\)了太难打了,,,我发现虽然\(latex\)配上\(markdown\)真的很好看但真的好耗时间,,,自己手推下第\(k+2\)步想拿到的颜色\(y\)的概率就好
　　　　啊这儿说下,,,上面说的是到第\(k\)步的时候,各个球的数量是\(a_{1},a_{2},a_{3}...a_{n}\)嘛,,,但其实只是为了方便推,,,这儿的\(a_{1},a_{2},a_{3}...a_{n}\)的真实含义其实是一开始的时候给的\(\left \{ a \right \}\)数组,,,
　　　　
　　然后第二条,,,其实还挺好证明的来着QwQ
　　就现在从第一条我们已经可以得到一个接近正解的解法了,,,就直接读入\(x_{i}\),离散化一下,然后按顺序做就好QwQ
　　但是还可以再改进下,,,就,如果能证明\(y_{i}\)的顺序对结果麻油影响,就可以直接读入然后直接做就好,,,
　　下面随便证下
　　设对\(\left \{ x \right \}\)数组排序之后得到的两个相邻的\(y\)进行交换,显然如果能证明这两个\(y\)交换对结果不产生影响,就能证这一条了
　　现在假设这两个条件分别是\(\left ( x_{1},y_{1} \right ),\left ( x_{2},y_{2} \right )\)
　　如果\(y_{1}=y_{2}\),显然麻油问题,不讲
　　现在只要证\(y_{1}\neq y_{2}\)时是成立的就欧克了鸭,,,
　　设\(P_{1}\)表示以\(\left ( x_{1},y_{1} \right ),\left ( x_{2},y_{2} \right )\)顺序排的\(ans\),\(P_{w}\)表示以\(\left ( x_{2},y_{2} \right ),\left ( x_{1},y_{1} \right )\)顺序排的\(ans\)
　　不难得\(P_{1}=\frac{a_{y_{i}}}{sum}*\frac{a_{y_{i+1}}}{sum+d},P_{2}=\frac{a_{y_{i+1}}}{sum}*\frac{a_{y_{i}}}{sum+d}\)
　　所以显然可以得到\(P_{1}=P_{2}\)
　　得证√!
　　啊对了还有个小\(tip\)这儿港下,,,就这题因为范围比较大,就要高精,然后就在最后的化简的时候要写高精除,,,所以可以先分解质因数,然后就只要做高精乘就欧克了,,,
　　\((ps:markdown\)和\(\LaTeX\)打起来真滴好爽,,,虽然\(real\)耗时但我好爱啊\(TT\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define il inline
#define gc getchar()
#define ri register int
#define rc register char
#define rb register bool
#define rp(i,x,y) for(ri i=x;i<=y;++i)
#define my(i,x,y) for(ri i=x;i>=y;--i)
#define e(i,x) for(ri i=head[x];i;i=edge[i].nxt)

const int N=20000+10,M=50+10;
int pr[N],pr_cnt,isn_pr[N],n,m,d,a[N],sum,mul[N],divv[N];
struct Bigint
{
    int num[N],num_cnt;
    Bigint(){num[1]=1;num_cnt=1;}
    il void multi(int x)
    {
        rp(i,1,num_cnt)num[i]*=x;
        rp(i,1,num_cnt)num[i+1]+=num[i]/10,num[i]%=10;
        while(num[num_cnt+1])++num_cnt,num[num_cnt+1]=num[num_cnt]/10,num[num_cnt]%=10;
    }
    il void output(){my(i,num_cnt,1)printf("%d",num[i]);}
}as1,as2;

il int read()
{
    rc ch=gc;ri x=0;rb y=1;
    while(ch!='-' && (ch>'9' || ch<'0'))ch=gc;
    if(ch=='-')ch=gc,y=0;
    while(ch>='0' && ch<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0'),ch=gc;
    return y?x:-x;
}
il void prepri()
{
    isn_pr[1]=1;
    rp(i,2,N-10)
    {
        if(!isn_pr[i])pr[++pr_cnt]=i;
        rp(j,1,pr_cnt){if(i*pr[j]>N-10)break;isn_pr[i*pr[j]]=1;}
    }
}
il int min(ri x,ri y){return x<y?x:y;}
il void cal(ri x,ri *y){rp(i,1,pr_cnt)while(!(x%pr[i]))++y[i],x/=pr[i];}

int main()
{
//  freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);
    n=read();m=read();d=read();prepri();
    rp(i,1,n)sum+=(a[i]=read());
    rp(i,1,m){ri x=read(),y=read();if(!a[y])return printf("0/1"),0;cal(a[y],mul);cal(sum,divv);a[y]+=d;sum+=d;}
    rp(i,1,pr_cnt){ri mn=min(divv[i],mul[i]);mul[i]-=mn,divv[i]-=mn;}
    rp(i,1,pr_cnt)rp(j,1,mul[i])as1.multi(pr[i]);
    rp(i,1,pr_cnt)rp(j,1,divv[i])as2.multi(pr[i]);
    as1.output();printf("/");as2.output();
    return 0;
}