Luogu1445 [Violet]樱花 ---- 数论优化

Luogu1445 [Violet]樱花

一句话题意：（本来就是一句话的）

求方程 $\frac{1}{X} + \frac{1}{Y} = \frac{1}{N!}$ 的正整数解的组数，其中$N \leq 10^6$

题解：

差不多是第一篇公开的题解，因为以前的太烂了，不敢发......

我们观察到提交记录发现似乎时间有从200ms+到8ms-的，然而标准题解中给出的代码就是跑的比较慢的......

所以有没有什么快一点的呢？

假设此时你已经用朴素算法A过此题

于是我们分析算法：

楼下题解的复杂度是$O(nlogn+常数的)$，平均200ms

有没有什么更快的呢？

假设我们分析到了

$A*B=(n!)*(n!)$

的时候发现最终求的就是约数个数

首先如果求m的约数个数的话，那么对m分解得到

$m=p_1^{k_1}*p_2^{k_2}...$

其中$p_1,p_2,p_3...$都是质数

那么根据乘法原理

$Ans = (k_1 + 1) * (k_2 + 1)...$

然后对于阶乘来说，对n!做质因数分解实则在分解1 * 2 * ... * n

然而这个就是朴素的做法，然而由于你实则是需要求质因数的指数，而在《初等数论》中有

$\Sigma(p \leq n, p \  is \  a \  prime)\Sigma_{k=0}^{p^k \leq n}(\lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor)$

所以我们直接递归（或者非递归地）跑这个公式即可

实际食用：枚举质数（或打表）（在阶乘下质因数等价于质数）（O(n)），然后对于所有质数，跑公式。

n内大约有n/ln(n)个质数，然后每次做都是log的，所以复杂度为O(n/ln(n) * log(n))=O(n)，常数小，瓶颈在筛质数那......

代码如下：

 //Source Code

 const int MAXN = ;
 const int MODS = ;

 int n, tot;
 int prime[MAXN];
 bool is_not_prime[MAXN];

 inline void Get_Prime(){
     for(int i = ; i <= n; i++){
         if(!is_not_prime[i])
             prime[++tot] = i;
         for(int j = ; j <= tot; j++){
             if(i * prime[j] > n) break;
             is_not_prime[i * prime[j]] = true;
             if(!(i % prime[j])) break;
         }
     }
 }

 inline int Get_D(const int &tar, const int &p){
     if(tar < p) return ;
     return tar / p + Get_D(tar / p, p);
 }

 int main(){
     Main_Init();
     n = read();
     Get_Prime();
     long long ans = ;
     for(int i = ; i <= tot; i++)
         (ans *= (Get_D(n, prime[i]) << ) + ) %= MODS;
     write('\n', ans);
     Main_Init();
     return ;
 }