POJ 3233 Matrix Power Series——快速幂&&等比&&分治

题目

给定一个 $n \times n$  的矩阵 $A$ 和正整数 $k$ 和 $m$。求矩阵 $A$ 的幂的和。

$$S = A + A^2 + ... + A^k$$

输出 $S$ 的各个元素对 $M$ 取余后的结果（$1 \leq n \leq 30, 1 \leq k \leq  10^9, 1 \leq M \leq 10^4$）。

分析

数据范围 $n$ 很小，$k$ 很大，不肯能逐一求得。

由于具有等比性质，

设  $S_k = I + A + ... + A^{k-1}$

则有

$$\begin{pmatrix} A^k\\  S_k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & 0\\  I & I \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A^{k-1}\\  S_{k-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & 0\\  I & I \end{pmatrix}^k\begin{pmatrix} I\\  0 \end{pmatrix}$$

对这个新矩阵使用快速幂即可。

代码中的输出，使用了分块矩阵乘法的性质进行了简化。

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

typedef long long ll;
struct matrix
{
    int r, c;
    int mat[][];
    matrix(){
        memset(mat, , sizeof(mat));
    }
};
int n, k, p;

matrix mul(matrix A, matrix B)   //矩阵相乘
{
    matrix ret;
    ret.r = A.r; ret.c = B.c;
    for(int i = ;i < A.r;i++)
        for(int k = ;k < A.c;k++)
            for(int j = ;j < B.c;j++)
            {
                ret.mat[i][j] = (ret.mat[i][j] + A.mat[i][k] * B.mat[k][j]) % p;
            }
    return ret;
}

matrix mpow(matrix A, int n)
{
    matrix ret;
    ret.r = A.r; ret.c = A.c;
    for(int i = ;i < ret.r;i++)  ret.mat[i][i] = ;
    while(n)
    {
        if(n & )  ret = mul(ret, A);
        A = mul(A, A);
        n >>= ;
    }
    return ret;
}

int  main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &k, &p);
    matrix a, b;
    a.r = a.c = n;
    for(int i = ;i < n;i++)  for(int j = ;j < n;j++)  scanf("%d", &a.mat[i][j]);
    b.r = b.c = *n;
    for(int i = ;i < n;i++)
    {
        for(int j = ;j < n;j++)  b.mat[i][j] = a.mat[i][j];
        b.mat[n+i][i] = b.mat[n+i][n+i] = ;
    }
    b = mpow(b, k+);
    for(int i = ;i < n;i++)
        for(int j = ;j < n;j++)
        {
            int tmp = b.mat[n+i][j] % p;
            if(i == j)  tmp = (tmp + p - ) % p;
            printf("%d%c", tmp, j == n- ? '\n' : ' ');
        }
}

还有一种经典的分治方法，

例如，

$A+A^2+A^3+A^4 = (A+A^2) + A^2(A + A^2)$，

$A+A^2+A^3+A^4+A^5 = (A+A^2) +A^3 +  A^3(A + A^2)$.

因此，分k的奇偶递归一下就可以了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

typedef long long ll;
struct matrix
{
    int r, c;
    int mat[][];
    matrix(){
        memset(mat, , sizeof(mat));
    }
};
int n, k, p;

matrix mul(matrix A, matrix B)   //矩阵相乘
{
    matrix ret;
    ret.r = A.r; ret.c = B.c;
    for(int i = ;i < A.r;i++)
        for(int k = ;k < A.c;k++)
            for(int j = ;j < B.c;j++)
            {
                ret.mat[i][j] = (ret.mat[i][j] + A.mat[i][k] * B.mat[k][j]) % p;
            }
    return ret;
}

matrix mpow(matrix A, int n)
{
    matrix ret;
    ret.r = A.r; ret.c = A.c;
    for(int i = ;i < ret.r;i++)  ret.mat[i][i] = ;
    while(n)
    {
        if(n & )  ret = mul(ret, A);
        A = mul(A, A);
        n >>= ;
    }
    return ret;
}

matrix add(matrix A, matrix B)
{
    matrix ret;
    ret.r = A.r; ret.c = A.c;
    for(int i = ;i < A.r;i++)
        for(int j = ;j < A.c;j++)
            ret.mat[i][j] = (A.mat[i][j] + B.mat[i][j]) % p;
    return ret;
}

matrix sum(matrix x, int k)  //A+A^2+..+A^k
{
    if(k == )  return x;
    matrix s = sum(x, k/);
    if(k & )
    {
        matrix tmp = mpow(x, k/+);
        return add(s, add(tmp, mul(tmp, s)));
    }
    else
    {
        matrix tmp = mpow(x, k/);
        return add(s, mul(tmp, s));
    }
}

int  main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &k, &p);
    matrix a, ans;
    a.r = a.c = n;
    for(int i = ;i < n;i++)  for(int j = ;j < n;j++)  scanf("%d", &a.mat[i][j]);
    ans = sum(a, k);
    for(int i = ;i < n;i++)  for(int j = ;j < n;j++)  printf("%d%c", ans.mat[i][j], j == n- ? '\n' : ' ');
}

这个时间复杂度咋算啊？知道的大犇请留言。

参考链接：

1. https://blog.csdn.net/rowanhaoa/article/details/21023599

2. https://blog.csdn.net/scf0920/article/details/39345197