【HNOI2014】江南乐

题面

题解

知识引入 - \(SG\)函数

任何一个公平组合游戏都可以通过把每个局面看成一个顶点，对每个局面和它的子局面连一条有向边来抽象成这个“有向图游戏”。下面我们就在有向无环图的顶点上定义Sprague-Grundy函数。

定义\(mex\)运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数

如：\(mex(\{0,1,2,4\})=3,mex(\{1,3,5\})=0,mex(\{\})=0\)。

对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数\(g\)如下：

\[g(x)=mex(\{g(y)\mid y \in \mathrm{suc}_x\})
\]

由\(g(x)\)的性质可以得出：\(g(x) = 0 \Leftrightarrow x \in\)必败态

如果一个游戏可以分成多个子游戏，那么整个游戏的\(SG\)值就是每个子游戏的\(SG\)值的异或和。

本题题解

部分分可以暴力求\(g(x)\)。

枚举分成的堆数。如果将\(x\)分成了\(i\)堆，那么这\(i\)堆中有\(x \% i\)堆\(\left\lceil\frac{x}{i}\right\rceil\)，有\(i - x \% i\)堆\(\left\lfloor\frac{x}{i}\right\rfloor\)。

对于每一个\(i\)，算出它的\(SG\)值，为所有分出来的\(SG\)值的异或和的\(mex\)

然后\(SG\)函数可以记忆化。

接下来继续推性质，因为\(x \oplus x = 0\)，所以只需要根据奇偶性讨论一下就可以了，这时候大约有\(70\)分。

然后\(\left\lfloor\frac{x}{i}\right\rfloor\)可以数论分块，于是数论分块即可。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#define RG register

inline int read()
{
	int data = 0, w = 1; char ch = getchar();
	while(ch != '-' && (!isdigit(ch))) ch = getchar();
	if(ch == '-') w = -1, ch = getchar();
	while(isdigit(ch)) data = data * 10 + (ch ^ 48), ch = getchar();
	return data * w;
}

const int maxn(100010);
int sg[maxn], vis[maxn], T, F;

int SG(int x)
{
	if(x < F) return 0;
	if(~sg[x]) return sg[x];
	for(RG int l = 2, r; l <= x; l = r + 1)
	{
		r = (x / (x / l));
		for(RG int j = l; j <= std::min(l + 1, r); j++)
		{
			int a = x % j, b = x / j, c = j - x % j, s = 0;
			if(a & 1) s ^= SG(b + 1);
			if(c & 1) s ^= SG(b);
			vis[s] = x;
		}
	}

	for(RG int i = 0; ; i++) if(vis[i] != x) return sg[x] = i;
}

int main()
{
	memset(sg, -1, sizeof sg);
	T = read(), F = read();
	while(T--)
	{
		int n = read(), ans = 0;
		for(RG int i = 1; i <= n; i++) ans ^= SG(read());
		printf("%d ", (bool)ans);
	}
	return 0;
}