【tarjan 拓扑排序 dp】bzoj1093: [ZJOI2007]最大半连通子图

思维难度不大，关键考代码实现能力。一些细节还是很妙的。

Description

　　一个有向图G=(V,E)称为半连通的(Semi-Connected)，如果满足：?u,v∈V，满足u→v或v→u，即对于图中任意
两点u，v,存在一条u到v的有向路径或者从v到u的有向路径。若G'=(V',E')满足V'?V，E'是E中所有跟V'有关的边，
则称G'是G的一个导出子图。若G'是G的导出子图，且G'半连通，则称G'为G的半连通子图。若G'是G所有半连通子图
中包含节点数最多的，则称G'是G的最大半连通子图。给定一个有向图G，请求出G的最大半连通子图拥有的节点数K
，以及不同的最大半连通子图的数目C。由于C可能比较大，仅要求输出C对X的余数。

Input

　　第一行包含两个整数N，M，X。N，M分别表示图G的点数与边数，X的意义如上文所述接下来M行，每行两个正整
数a, b，表示一条有向边(a, b)。图中的每个点将编号为1,2,3…N，保证输入中同一个(a,b)不会出现两次。N ≤1
00000, M ≤1000000；对于100%的数据， X ≤10^8

Output

　　应包含两行，第一行包含一个整数K。第二行包含整数C Mod X.

Sample Input

6 6 20070603
1 2
2 1
1 3
2 4
5 6
6 4

Sample Output

3
3

---

题目分析

首先来分析一下题目给的约束条件到底在描述一个什么东西。

半连通子图？

乍一看好像“半连通子图”是个非常麻烦的东西，但是显然一个环肯定是一个半连通子图，于是我们可以先缩点。

缩完点之后就变成一个DAG了，这时多画几个图就会发现，若一个子图是半连通子图，则它必定是一条链。这个其实是挺显然的，这里就不用形式化的语言描述了。

于是求最大半连通子图就变成了求：缩点后，求有向图带点权的最长链。

方案数

那么DAG求最长链很容易，记忆化搜索或者拓扑排序都可以。求方案数的话，也就是类似dp的方法，用$g[i]$表示以$i$为终点最长链的方案数，转移起来也挺方便的。

对了为了统计方案数，连通块之间的连边需要去重。

从黄学长博客上学到一种挺巧妙的去重方法（虽然说知道后很简单，但是还是很妙的），就是对于$(u,v)$，每次操作完记录$vis[v]=u$，若遇到$vis[v]=u$则退出。

于是就变成了：tarjan+拓扑+dp的板子汇总题

我是把之前写的tarjan板子套上去了，所以有点长……都3k了

 #include<bits/stdc++.h>
 typedef long long ll;
 const int maxn = ;
 const int maxm = ;

 int n,m;
 int deg[maxn],vis[maxn],q[maxn],qHead,qTail;
 int head[maxn],nxt[maxm],edges[maxm],edgeTot;
 ll p,col[maxn],cols,size[maxn],f[maxn],g[maxn];
 ll mx,cnt;

 int read()
 {
     char ch = getchar();
     int num = ;
     bool fl = ;
     for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
         if (ch=='-') fl = ;
     for (; isdigit(ch); ch = getchar())
         num = (num<<)+(num<<)+ch-;
     if (fl) num = -num;
     return num;
 }
 namespace tarjanSpace
 {
     int stk[maxn],cnt;
     int a[maxn],dfn[maxn],low[maxn],tim;
     int edgeTot,edges[maxm],nxt[maxm],head[maxn];
     void tarjan(int now)
     {
         dfn[now] = low[now] = ++tim, stk[++cnt] = now;
         for (int i=head[now]; i!=-; i=nxt[i])
         {
             int v = edges[i];
             if (!dfn[v])
                 tarjan(v), low[now] = std::min(low[now], low[v]);
             else if (!col[v])
                 low[now] = std::min(low[now], dfn[v]);
         }
         if (low[now]==dfn[now])
         {
             ::col[now] = ++::cols, ::size[cols] = ;
             for (; stk[cnt]!=now; cnt--, ::size[cols]++)
                 ::col[stk[cnt]] = ::cols;
             cnt--;
         }
     }
     inline void addedgeInner(int u, int v)
     {
         edges[++edgeTot] = v, nxt[edgeTot] = head[u], head[u] = edgeTot;
     }
     inline void addedgeOuter(int u, int v)
     {
         deg[v]++, ::edges[++::edgeTot] = v, ::nxt[::edgeTot] = ::head[u], ::head[u] = ::edgeTot;
     }
     void dealOuter()
     {
         for (int i=; i<=n; i++)
         {
             int u = col[i];
             for (int j=head[i]; j!=-; j=nxt[j])
                 if (u!=col[edges[j]])
                     addedgeOuter(u, col[edges[j]]);
         }
         cols--;
     }
     void solve()
     {
         memset(head, -, sizeof head);
         cnt = tim = edgeTot = ;
         for (int i=; i<=n; i++) addedgeInner(, i);
         for (int i=; i<=m; i++)
         {
             int u = read(), v = read();
             addedgeInner(u, v);
         }
         tarjan();
         dealOuter();
     }
 }
 void topoSort()
 {
     qHead = , qTail = ;
     for (int i=; i<=cols; i++)
     {
         if (!deg[i]) q[++qTail] = i;
         f[i] = size[i], g[i] = ;
     }
     while (qHead!=qTail)
     {
         int u = q[++qHead];
         for (int i=head[u]; i!=-; i=nxt[i])
         {
             int v = edges[i];
             if ((--deg[v])==) q[++qTail] = v;
             if (vis[v]==u) continue;
             if (f[v] < f[u]+size[v])
                 f[v] = f[u]+size[v], g[v] = g[u];
             else if (f[v]==f[u]+size[v])
                 g[v] = (g[v]+g[u])%p;
             vis[v] = u;
         }
     }
 }
 int main()
 {
     memset(head, -, sizeof head);
     n = read(), m = read(), p = read();
     tarjanSpace::solve();
     topoSort();
     for (int i=; i<=cols; i++)
         if (f[i] > mx)
             mx = f[i], cnt = g[i];
         else if (f[i]==mx)
             cnt = (cnt+g[i])%p;
     printf("%lld\n%lld\n",mx,cnt);
     return ;
 }

END