Miller_Rabin 素数测试

费马定理的逆定理几乎可以用来判断一个数是否为素数，但是有一些数是判断不出来的，因此，Miller_Rabin测试方法对费马的测试过程做了改进，克服其存在的问题。

推理过程如下（摘自维基百科）：

摘自另一篇博文（手动滑稽）：

原理明白了，就直接上代码了（KuangBin大神的板子）：

代码思路是，

• Miller_Rabin()函数随机选取 s 个a，a用做“基底”
• check() 函数是用来判断x是否等于1,也就是判断a是否是n的凭证。
• Mul_mod()函数是 快速乘 ，求 a^t % n 之后的值是否为正负一，因为两个数直接乘的话会很大，可能会爆Long Long, 因此用快速乘边乘边mod。
• pow_mod()函数是 快速幂 ，在刚开始第一次判断 a^(n-1) % n 时会用到。

 /* *************************************************
 * Miller_Rabin 算法进行素数测试
 * 速度快可以判断一个 < 2^63 的数是不是素数
 *
 **************************************************/
 const int S = ; //随机算法判定次数一般 8 ∼ 10 就够了
 // 计算 ret = (a*b)%c
 //a,b,c < 2^63
 long long mult_mod(long long a,long long b,long long c)
 {
     a %= c;
     b %= c;
     long long ret = ;
     long long tmp = a;
     while(b)
     {
         if(b & )
         {
             ret += tmp;
             if(ret > c)ret -= c;//直接取模慢很多
         }
         tmp <<= ;
         if(tmp > c)tmp -= c;
         b >>= ;
     }
     return ret;
 }
 // 计算 ret = (a^n)%mod
 long long pow_mod(long long a,long long n,long long mod)
 {
     long long ret = ;
     long long temp = a%mod;
     while(n)
     {
         if(n & )ret = mult_mod(ret,temp,mod);
         temp = mult_mod(temp,temp,mod);
         n >>= ;
     }
     return ret;
 }
 // 通过 a^(n − 1)=1(mod n)来判断 n 是不是素数
 // n − 1 = x ∗ 2 t 中间使用二次判断
 // 是合数返回 true, 不一定是合数返回 false
 bool check(long long a,long long n,long long x,long long t)
 {
     long long ret = pow_mod(a,x,n);
     long long last = ret;
     for(int i = ; i <= t; i++)
     {
         ret = mult_mod(ret,ret,n);
         if(ret ==  && last !=  && last != n - )return true;//合数
         last = ret;
     }
     if(ret != )return true;
     else return false;
 }
 //**************************************************
 // Miller_Rabin 算法
 // 是素数返回 true,(可能是伪素数)
 // 不是素数返回 false
 //**************************************************
 bool Miller_Rabin(long long n)
 {
     if( n < )return false;
     if( n == )return true;
     if( (n&) == )return false;//偶数
     long long x = n - ;
     long long t = ;
     while( (x&)== )
     {
         x >>= ;
         t++;
     }
     srand(time(NULL));/* *************** */
     for(int i = ; i < S; i++)
     {
         long long a = rand()%(n - ) + ;
         if( check(a,n,x,t) )
             return false;
     }
     return true;
 }