【卡特兰数】BZOJ1485: [HNOI2009]有趣的数列
Description
我们称一个长度为2n的数列是有趣的,当且仅当该数列满足以下三个条件:
(1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{ai};
(2)所有的奇数项满足a1<a3<…<a2n-1,所有的偶数项满足a2<a4<…<a2n;
(3)任意相邻的两项a2i-1与a2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项,即:a2i-1<a2i。
现在的任务是:对于给定的n,请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大,所以只要求输出答案 mod P的值。
Solution
发现一些性质
①如果奇数位置的确定,偶数位置的也确定;
②记录奇数位置相邻“跳”过位置的个数(猎奇的表述=v=,1到3就是跳了1个位置),那么i位置已跳过的值<i,否则不合法。
对于性质②,我们可以联想到另外一种限制模型,也就是栈。
把奇数视为入栈,偶数视为出栈(具体的自己脑补)。
然后就是给定入栈求出栈。
也就是卡特兰数。
公式为C(2n,n)/(n+1)
Code
好久没有写分解质因数啥的了
自己打出来比较蠢的版本到1e6会T
于是去膜了一下别人的代码
这种筛法是线性的,同时可以求出每个数最小质因数
于是为后面的质因数分解带来了方便
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1e6+; int n,mod,cnt;
int flag[*maxn],prime[maxn],dy[*maxn],tot[maxn]; int getPri(){
for(int i=;i<=*n;i++){
if(!flag[i]){
prime[++cnt]=i;
dy[i]=cnt;
}
for(int j=;prime[j]*i<=*n&&j<=cnt;j++){
flag[prime[j]*i]=;
dy[prime[j]*i]=j;
if(i%prime[j]==) break;
}
}
} int add(int x,int k){
while(x!=){
tot[dy[x]]+=k;
x/=prime[dy[x]];
}
} int main(){
scanf("%d%d",&n,&mod);
getPri(); for(int i=n+;i<=*n;i++) add(i,);
for(int i=;i<=n;i++) add(i,-);
add(n+,-); ll ans=;
for(int i=;i<=cnt;i++){
while(tot[i]){
ans=(ans*prime[i])%mod;
tot[i]--;
}
}
printf("%lld\n",ans);
return ;
}
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