【卡特兰数】BZOJ1485: [HNOI2009]有趣的数列

Description

我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

(1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{a_i}；

(2)所有的奇数项满足a₁<a₃<…<a_2n-1，所有的偶数项满足a₂<a₄<…<a_2n；

(3)任意相邻的两项a_2i-1与a_2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项，即：a_2i-1<a_2i。

现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。

Solution

发现一些性质

①如果奇数位置的确定，偶数位置的也确定；

②记录奇数位置相邻“跳”过位置的个数(猎奇的表述=v=，1到3就是跳了1个位置)，那么i位置已跳过的值<i，否则不合法。

对于性质②，我们可以联想到另外一种限制模型，也就是栈。

把奇数视为入栈，偶数视为出栈(具体的自己脑补)。

然后就是给定入栈求出栈。

也就是卡特兰数。

公式为C(2n,n)/(n+1)

Code

好久没有写分解质因数啥的了

自己打出来比较蠢的版本到1e6会T

于是去膜了一下别人的代码

这种筛法是线性的，同时可以求出每个数最小质因数

于是为后面的质因数分解带来了方便

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 #define ll long long
 using namespace std;
 const int maxn=1e6+;

 int n,mod,cnt;
 int flag[*maxn],prime[maxn],dy[*maxn],tot[maxn];

 int getPri(){
     for(int i=;i<=*n;i++){
         if(!flag[i]){
             prime[++cnt]=i;
             dy[i]=cnt;
         }
         for(int j=;prime[j]*i<=*n&&j<=cnt;j++){
             flag[prime[j]*i]=;
             dy[prime[j]*i]=j;
             if(i%prime[j]==) break;
         }
     }
 }

 int add(int x,int k){
     while(x!=){
         tot[dy[x]]+=k;
         x/=prime[dy[x]];
     }
 }

 int main(){
     scanf("%d%d",&n,&mod);
     getPri();

     for(int i=n+;i<=*n;i++) add(i,);
     for(int i=;i<=n;i++) add(i,-);
     add(n+,-);

     ll ans=;
     for(int i=;i<=cnt;i++){
         while(tot[i]){
             ans=(ans*prime[i])%mod;
             tot[i]--;
         }
     }
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }