【BZOJ】【1009】 【HNOI2008】GT考试

DP/KMP/矩阵乘法

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　　好神的题啊……跪了跪了

　　$n\leq 10^9$是什么鬼……我们还是先不要考虑这个鬼畜的玩意了>_>

　　用类似数位DP的思路，我们可以想到一个DP方程：$f[i][j]$表示前 i 位数字，它的最后 j 位与不吉利串匹配的方案数，显然有$ans=\sum_{i=0}^x f[n][i]$

　　然后就是转移的问题了= =那么依旧按照数位DP的想法（其实是硬扯到那的吧……怎么理解都可以，重点是明白转移方程）可以想到：从 i 转移到 i+1，有10种方案，其中一种会使得匹配长度+1，即$f[i+1][j+1]+=f[i][j]$那么其他的方案呢？并不都会使得匹配长度归0，想到这你大概已经想到了，对！就是KMP！字符串匹配时的fail指针！那么转移的方式就是这三种了= =：1.匹配长度归0；2.匹配长度+1；3.匹配长度变为fail[j]+1。

　　那么转移方式已经确定啦～接下来就该考虑一下$n\leq 10^9$这个蛋疼的范围了……

　　很明显这个范围O(n)是不可能的了= =必须要加速！那么我们来研究一下这个转移：我们可以把$f_i$看作一个向量：$$\begin{bmatrix} f_0 f_1 \cdots f_{m-1} \end{bmatrix}(即0\leq j\leq m-1) $$ 从$f_i$转移到$f_{i+1}$，其实是可以用一个矩阵来表示的： $$ \begin{bmatrix} f_0& f_1 &\cdots &f_{m-1} \end{bmatrix}_{i} * \begin{bmatrix} a_{0,0}& a_{0,1}& \cdots &a_{0,m-1} \\ a_{1,0}& a_{1,1}& \cdots &a_{1,m-1} \\  \ddots& \ddots& \vdots &\ddots \\ a_{m-1,0}& a_{m-1,1}& \cdots &a_{m-1,m-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f_0 &f_1 &\cdots &f_{m-1} \end{bmatrix}_{i+1} $$

　　嗯左边的表示$f[i][j]$，右边就是$f[i+1][j]$了；那么a矩阵是什么玩意呢？这是一个转移矩阵：$a[i][j]$表示从匹配了 i 个字符转移到匹配了 j 个字符有多少种方案！很明显当$j>0$的时候f[i][j]只可能是0或1，这里可能需要仔细理解一下，反正$f[i+1]$跟$f[i]$是线性相关的！所以我们可以直接利用矩阵乘法加速！

　　嗯这道题我写的时候由于本题有【匹配长度为0】这个状态……然后KMP很久没写过了……果断跪啊，这题貌似是需要在原来的KMP上稍微改动一下，由于我KMP理解的不是很好所以蛋疼了很久……最后是看了Hzwer的写法才过的

 /**************************************************************
     Problem: 1009
     User: Tunix
     Language: C++
     Result: Accepted
     Time:56 ms
     Memory:812 kb
 ****************************************************************/

 //BZOJ 1009
 #include<cstdio>
 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
 const int N=,INF=~0u>>;
 /******************tamplate*********************/
 int n,m,P;
 struct Matrix{
     int x[N][N];
     int* operator [] (int a) {return x[a];}
     Matrix(int a=){
         rep(i,N) rep(j,N)
             if (i==j) x[i][j]=a;
             else x[i][j]=;
     }
 };
 Matrix operator*(Matrix a,Matrix b){
     Matrix c;
     rep(i,m) rep(j,m) rep(k,m)
         c[i][j]=(c[i][j]+a[i][k]*b[k][j])%P;
     return c;
 }
 Matrix Pow(Matrix a,int b){
     Matrix r();
     for(;b;b>>=,a=a*a)   if(b&) r=r*a;
     return r;
 }
 /*******************Matrix**********************/
 char s[];
 Matrix f,a;
 int next[];
 void KMP(){
     int j=;
     F(i,,m){
         while (j && s[i]!=s[j+]) j=next[j];
         if (s[j+]==s[i]) j++;
         next[i]=j;
     }
     rep(i,m)
         rep(j,){
             int x=i;
             while(x && s[x+]-''!=j) x=next[x];
             if (j==s[x+]-'') a[i][x+]++;
             else a[i][]++;
         }
 }
 int main(){
     scanf("%d%d%d",&n,&m,&P);
     scanf("%s",s+);
     KMP();
     f=Pow(a,n);
     int ans=;
     rep(i,m) ans+=f[][i],ans%=P;
     printf("%d\n",ans);
     return ;
 }

1009: [HNOI2008]GT考试

Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 162 MB
Submit: 2015  Solved: 1233
[Submit][Status][Discuss]

Description

阿
申准备报名参加GT考试，准考证号为N位数X1X2....Xn(0<=Xi<=9),他不希望准考证号上出现不吉利的数字。他的不吉利数学
A1A2...Am(0<=Ai<=9)有M位，不出现是指X1X2...Xn中没有恰好一段等于A1A2...Am. A1和X1可以为0

Input

第一行输入N,M,K.接下来一行输入M位的数。 100%数据N<=10^9,M<=20,K<=1000 40%数据N<=1000 10%数据N<=6

Output

阿申想知道不出现不吉利数字的号码有多少种，输出模K取余的结果.

Sample Input

4 3 100
111

Sample Output

81

HINT

Source

[Submit][Status][Discuss]