题解-Reachable Strings

题解-Reachable Strings

前置知识：

\(\texttt{Hash}\)

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Reachable Strings

给一个长度为 \(n\) 的 \(\texttt{01}\) 串 \(s\)，可以让 \(s\) 中的 \(\texttt{110}\) 和 \(\texttt{011}\) 互相转换。\(q\) 次询问，每次给定两个 \(s\) 的子串 \(s_{l_1\sim l_1+len-1}\) 和 \(s_{l_2\sim l_2+len-1}\)，问两个串是否可以互相变换得到。

数据范围：\(1\le n,q\le 10^5\)。

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哈希萌新觉得这是哈希好题。

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很容易注意到 \(\texttt{11}\color{#9c3}{\texttt{0}}\leftrightarrow\color{#9c3}{\texttt{0}}\texttt{11}\) 就是 \(\texttt{0}\) 左右移动两个位置。

但是不可以 \(\texttt{10}\color{#9c3}{\texttt{0}}\leftrightarrow\color{#9c3}{\texttt{0}}\texttt{01}\) 或 \(\texttt{01}\color{#9c3}{\texttt{0}}\leftrightarrow\color{#9c3}{\texttt{0}}\texttt{10}\)，说明 \(\texttt{0}\) 移动时不能跨越别的 \(\texttt{0}\)。

综上，所有 \(\texttt{0}\) 的位置（从左往右第几个 \(\texttt{0}\)） 不会发生改变，并且下标的奇偶性不会变。

所以可以把所有 \(\texttt{0}\) 按序记录下标奇偶性生成序列，然后判断 两个子序列 是否可以互相变换得到 可以用序列哈希对比 看是否相等。

重点是因为每个子序列的起点奇偶性不都相同，所以每个 \(0\) 有两种奇偶性可能，所以用两个哈希数组。

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具体实现哈希时可以用一个质数进制数来表示一个序列。

如果从高到低第 \(i\) 位为 \(1\)，就表示原字符串从左到右第 \(i\) 个 \(\texttt{0}\) 的下标为奇数；如果为 \(2\)，就表示原字符串从左到右第 \(i\) 个 \(\texttt{0}\) 的下标为偶数。

然后开前缀 \(\texttt{0}\) 序列数组 \(h\)，\(h_n\) 表示原字符串前 \(n\) 个 \(\texttt{0}\) 哈希得的质数进制数。

因为子序列的起点奇偶性不同，所以有两个 \(h\)，分别表示以起点为奇数和偶数为标准时哈希得的前缀 \(\texttt{0}\) 序列数组。

子串可以由前缀 \(\texttt{0}\) 序列数组推得，看是否可以互相变换得到只需直接比较子串。

但是有个问题：\(0\) 那么多，形成的质数进制数太大怎么办（远爆 \(\texttt{long long}\)）？

解决方法是模某个大质数（如 \(998244353\)）。虽然这样可能会把两个不同的序列哈希得一样，但这正是哈希的精髓。没有绝对正确的哈希，能解决问题的就是好哈希。

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Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//&Start
#define inf 0x3f3f3f3f
#define re register
#define il inline
#define hash unorded_map
typedef long long lng;
typedef unsigned long long ulng;
typedef vector<int> veci;
#define fo(i,st,xb,y) for(re int i=st;i xb;i y)

//&Data
#define N 200000
#define mod 998244353 //模数为998244353
#define base 5119 //5119进制
char s[N+10];
int n,m,h[N+10][2],bs[N+10]={1},ze[N+10];
//两个h，进制前缀积，零数量前缀和

//&Main
il int Hash(re int l,re int r,re int o){return (-1ll*h[l-1][o]*bs[ze[r]-ze[l-1]]%mod+h[r][o]+mod)%mod;} //子序列哈希值
int main(){
	scanf("%d%s",&n,s+1);
	fo(i,1,<=n,++)
		if(s[i]=='1') h[i][0]=h[i-1][0],h[i][1]=h[i-1][1],ze[i]=ze[i-1];
		else h[i][0]=(1ll*h[i-1][0]*base%mod+1+(i&1))%mod,
			h[i][1]=(1ll*h[i-1][1]*base%mod+1+((i&1)^1))%mod,ze[i]=ze[i-1]+1;
	fo(i,1,<=n,++) bs[i]=1ll*bs[i-1]*base%mod;
	scanf("%d",&m); fo(i,1,<=m,++){
		re int l1,l2,len; scanf("%d%d%d",&l1,&l2,&len);
		(Hash(l1,l1+len-1,l1&1)==Hash(l2,l2+len-1,l2&1)?puts("Yes"):puts("No"));
	}
	return 0;
}

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祝大家学习愉快！