climbing stairs(爬楼梯)（动态规划）

You are climbing a stair case. It takes n steps to reach to the top.

Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?

Note: Given n will be a positive integer.

Example 1:

Input: 2

Output: 2

Explanation: There are two ways to climb to the top.

1. 1 step + 1 step
2. 2 steps

Example 2:

Input: 3

Output: 3

Explanation: There are three ways to climb to the top.

1. 1 step + 1 step + 1 step
2. 1 step + 2 steps
3. 2 steps + 1 step

爬楼梯，一次可以爬一级或者两级楼梯。问爬到n级楼梯有多少中方法。

分析：爬到n,可以是从n-1级楼梯一次爬上来，也可以是从n-2级一次走两步上来（不能从n-2走一步再走一步，因为走一步就会去到n-1级，重复）。所以有公式f(n)=f(n-1)+f(n-2)。

递归是可以解决的，但是递归会出现超时的情况。

所以使用动态规划。动态规划也没有什么特别之处，就是把一个大问题分解成许多个子问题，子问题解决了，大问题也就解决了。比如这里的f(n),可以先求f(3),再根据状态方程求后一项，。。。，。这就是动态规划。

递归都可以转成动态规划。

动规解题的一般思路

    1. 将原问题分解为子问题

• 把原问题分解为若干个子问题，子问题和原问题形式相同或类似，只不过规模变小了。子问题都解决，原问题即解决。
• 子问题的解一旦求出就会被保存，所以每个子问题只需求 解一次。

    2.确定状态

• 在用动态规划解题时，我们往往将和子问题相关的各个变量的一组取值，称之为一个“状 态”。一个“状态”对应于一个或多个子问题， 所谓某个“状态”下的“值”，就是这个“状 态”所对应的子问题的解。
• 所有“状态”的集合，构成问题的“状态空间”。“状态空间”的大小，与用动态规划解决问题的时间复杂度直接相关。

    3.确定一些初始状态（边界状态）的值

以“爬楼梯”为例，初始状态就是f(1),f(2)，值就是数字值。

    4. 确定状态转移方程

定义出什么是“状态”，以及在该“状态”下的“值”后，就要找出不同的状态之间如何迁移――即如何从一个或多个“值”已知的 “状态”，求出另一个“状态”的“值”(递推型)。状态的迁移可以用递推公式表示，此递推公式也可被称作“状态转移方程”。

从递推公式出发，就可以先求出小问题的解，最后大问题的解就出来了。如先求出f(3),f(4)...

代码：

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
       if(n<=0) return 0;
        if(n==1) return 1;
        if(n==2) return 2;
        /*
            根据规则可以知道f(n)=f(n-1)+f(n-2);但是不能用递归，因为数字很大时，递归会超时。
            这里其实是动态规划，思路还是根据上面的公式。一直从前往后加。自己在草稿纸上多写几项就知道规律了。
            这里：one_step_before,表示f(n-1)，two_step_before表示f(n-2).total表示f(n)。
            比如，f(1)=1,f(2)=2,则f(3)=3,此时要算下一个f(4)，f(4)=f(3)+f(2),所以对于f(4)而言，two_step_before=one_step_before(f2),one_step_before=total(f3);
        */
        int one_step_before=2;
        int two_step_before=1;
        int total=0;
        for(int i=3;i<=n;i++){
            total=one_step_before+two_step_before;
            two_step_before=one_step_before;
            one_step_before=total;
        }
        return total;
    }
}