BZOJ4557：[JLOI2016/SHOI2016]侦察守卫——题解

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4557

小R和B神正在玩一款游戏。这款游戏的地图由N个点和N-1条无向边组成，每条无向边连接两个点，且地图是连通的。换句话说，游戏的地图是一棵有N个节点的树。

游戏中有一种道具叫做侦查守卫，当一名玩家在一个点上放置侦查守卫后，它可以监视这个点以及与这个点的距离在D以内的所有点。这里两个点之间的距离定义为它们在树上的距离，也就是两个点之间唯一的简单路径上所经过边的条数。在一个点上放置侦查守卫需要付出一定的代价，在不同点放置守卫的代价可能不同。

现在小R知道了所有B神可能会出现的位置，请你计算监视所有这些位置的最小代价。

dp状态很好想，但是这个式子我菜我是真的推不出来，其他的巨佬切题的速度叹为观止，只能感叹我的智商摆在这里。

参考：https://www.luogu.org/blog/zcysky/solution-p3267

一眼是个树形dp，二眼$d$很小，可以直接做成一维状态，那么直接设$f[i][j]$为$i$子树从$i$往下$j$层都没有覆盖的代价，$g[i][j]$为$i$的子树全覆盖，往上还可以覆盖$j$层的代价。二者正好是互补的。

（PS：层数也包括i本身，换句话说，$j=0$时$i$并没有被覆盖，我在这里纠结了很久。）

（PPS：既然$g[i][j]$都可以覆盖上$j$层，那它也能覆盖下$j$层。）

之后对于dp式子慢慢剖析因为我自己都云里雾里的。

边界就是当点$u$为关键点时$f[u][0]=g[u][0]=w[u]$这个点一定是要放一个的，如果不是的话显然我们就不需要放了，初值为0。

初始化就不说了。

对于每个儿子结点v，我们有：

$g[u][j]=min(g[u][j]+f[v][j],g[v][j+1]+f[u][j+1])$（所以明白f和g是互补的才能看懂）

当然也有可能出现这种的：$g[u][j]=min(g[u][j],g[u][j+1])$

推完g来推f，首先$f[u][0]=g[u][0]$因为此时二者状态等价。

然后显然的，$f[u][j]+=f[v][j-1]$

以及也有可能出现这种的：$f[u][j]=min(f[u][j],f[u][j-1])$

（所以其实核心还是在状态含义上而非式子，含义搞懂式子就很显然了。）

#include<map>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5e5+;
const int D=;
const int INF=1e9;
inline int read(){
    int X=,w=;char ch=;
    while(!isdigit(ch)){w|=ch=='-';ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))X=(X<<)+(X<<)+(ch^),ch=getchar();
    return w?-X:X;
}
struct node{
    int to,nxt;
}e[N*];
int n,d,m,cnt,head[N],w[N];
int f[N][D],g[N][D];
bool im[N];
inline void add(int u,int v){
    e[++cnt].to=v;e[cnt].nxt=head[u];head[u]=cnt;
}
void dfs(int u,int fa){
    if(im[u])f[u][]=g[u][]=w[u];
    for(int i=;i<=d;i++)g[u][i]=w[u];
    g[u][d+]=INF;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;
        if(v==fa)continue;
        dfs(v,u);
        for(int j=d;j>=;j--)g[u][j]=min(g[u][j]+f[v][j],g[v][j+]+f[u][j+]);
        for(int j=d;j>=;j--)g[u][j]=min(g[u][j],g[u][j+]);
        f[u][]=g[u][];
        for(int j=;j<=d+;j++)f[u][j]+=f[v][j-];
        for(int j=;j<=d+;j++)f[u][j]=min(f[u][j],f[u][j-]);
    }
}
int main(){
    n=read(),d=read();
    for(int i=;i<=n;i++)w[i]=read();
    m=read();
    for(int i=;i<=m;i++)im[read()]=;
    for(int i=;i<n;i++){
        int u=read(),v=read();
        add(u,v);add(v,u);
    }
    dfs(,);
    printf("%d\n",f[][]);
    return ;
}

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