bzoj4568-幸运数字

题目

给出一棵树，每个节点上有权值\(a_i\)，多次询问一条路径上选择一些点权值异或和最大值。\(n\le 2\times 10^4,q\le 2\times 10^5,0\le a_i\le 2\times 2^{60}\)。

分析

选择一些点的异或和最大值显然用到线性基，这又是一个树上的路径问题，所以可以考虑倍增。预处理出倍增线性基，查询的时候倍增合并线性基，利用线性基的方法查询（从高往低能变大就异或）最大值。

这个总复杂度为\(O((n+q)\log n\log^2 a)\)。（线性基插入为\(\log a\)，合并的时候有\(\log a\)个要插入）。

算起来是非常大的呢！但是可以过！

于是就开始寻找更好的做法。

有两种更好的方法，参考上面zwl的博客。

首先由于线性基重复是不影响的，所以可以直接按 \(O(1)\) RMQ的方法来做，这样一共最多只需要合并4次线性基，所以就少掉一个log！

另一种做法是用点分治离线处理询问。对于每个重心求出到每个子树中节点的线性基，再给子树标号，判断当前重心上的询问是否通过重心。如果是的话就合并一次线性基得到答案，否则就把询问丢进所在的子树中。

这样总复杂度为\(O(n\log n\log a+q\log ^2a+q\log n)\)，分别是点分构建线性基，总询问复杂度和每层扫描询问复杂度。

很奇妙呢！！

代码

于是我写的是开始的正常（不科学）方法。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long giant;
const int maxn=2e4+1;
const int maxj=15;
const int maxg=61;
int n,m,f[maxn][maxj],dep[maxn];
giant a[maxn];
struct base {
    giant a[maxg];
    inline void clear() {memset(a,0,sizeof a);}
    base () {clear();}
    void insert(giant x) {
        for (int j=maxg-1;j>=0;--j) if ((x>>j)&1) {
            if ((a[j]>>j)&1) x^=a[j]; else {
                a[j]=x;
                break;
            }
        }
    }
    giant mx() {
        giant ret=0;
        for (int j=maxg-1;j>=0;--j) if ((ret^a[j])>ret) ret^=a[j];
        return ret;
    }
} b[maxn][maxj];
base operator + (base a,base b) {
    for (int j=maxg-1;j>=0;--j) if (b.a[j]) a.insert(b.a[j]);
    return a;
}
vector<int> g[maxn];
inline void add(int x,int y) {g[x].push_back(y);}
void dfs(int x,int fa) {
    f[x][0]=fa;
    dep[x]=dep[fa]+1;
    for (int v:g[x]) if (v!=fa) {
        b[v][0].insert(a[x]);
        dfs(v,x);
    }
}
int lca(int x,int y) {
    if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    for (int j=maxj-1;j>=0;--j) if (dep[f[x][j]]>=dep[y]) x=f[x][j];
    if (x==y) return x;
    for (int j=maxj-1;j>=0;--j) if (f[x][j]!=f[y][j]) x=f[x][j],y=f[y][j];
    return f[x][0];
}
base get(int x,int p) {
    base ret;
    ret.insert(a[x]);
    for (int j=maxj-1;j>=0;--j) if (dep[f[x][j]]>=dep[p]) ret=ret+b[x][j],x=f[x][j];
    return ret;
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("test.in","r",stdin);
#endif
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%lld",a+i);
    for (int i=1;i<n;++i) {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y),add(y,x);
    }
    dfs(1,1);
    for (int j=1;j<maxj;++j) for (int i=1;i<=n;++i) {
        f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
        b[i][j]=b[i][j-1]+b[f[i][j-1]][j-1];
    }
    while (m--) {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        if (x==y) {
            printf("%lld\n",a[x]);
            continue;
        }
        if (dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
        int l=lca(x,y);
        base c=(x==l?get(y,l):get(x,l)+get(y,l));
        giant ans=c.mx();
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}