[BZOJ3754]Tree之最小方差树

3754: Tree之最小方差树

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Description

Wayne在玩儿一个很有趣的游戏。在游戏中，Wayne建造了N个城市，现在他想在这些城市间修一些公路，当然并不是任意两个城市间都能修，为了道路系统的美观，一共只有M对城市间能修公路，即有若干三元组 (Ui,Vi,Ci)表示Ui和Vi间有一条长度为Ci的双向道路。当然，游戏保证了，若所有道路都修建，那么任意两城市可以互相到达。Wayne拥有恰好N-1支修建队，每支队伍能且仅能修一条道路。当然，修建长度越大，修建的劳累度也越高，游戏设定是修建长度为C的公路就会有C的劳累度。当所有的队伍完工后，整个城市群必须连通，而这些修建队伍们会看看其他队伍的劳累情况，若劳累情况差异过大，可能就会引发骚动，不利于社会和谐发展。Wayne对这个问题非常头疼，于是他想知道，这N1支队伍劳累度的标准差最小能有多少。

标准差的定为：设有N个数，分别为ai,它们的平均数为

,那么标准差就是

Input

第一行两个正整数N,M

接下来M行，每行三个正整数Ui,Vi,Ci

Output

输出最小的标准差，保留四位小数。

Sample Input

3 3
1 2 1
2 3 2
3 1 3

Sample Output

0.5000

HINT

N<=100,M<=2000,Ci<=100

Source

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此题要最小化$\sqrt{\frac{\sum\limits_{a_i\in S}(a_i-\bar a)^2}{n-1}}$等价于最小化$\sum\limits_{a_i\in S}(a_i-\bar a)^2$ 其中S中的所有边组成一个生成树

设$f(x)=\sum\limits_{a_i\in S}(a_i-x)^2$，则$f(x)=\sum\limits_{a_i \in S}(x^2-2*a_i*x+a_i^2)$其中当$x=\bar a$时取得最小值。

所以可以枚举平均值x，然后求最小生成树，求出来的边如果平均值不等于x。当枚举到他们的平均值时，答案一定比当前小，统计最小值即可。

 #include<cmath>

 #include<cstdio>

 #include<cstring>

 #include<algorithm>

 #define N 105

 #define M 2010

 #define sqr(x) ((x)*(x))

 using namespace std;

 int n,m,tot,f[N];double ans=1e9;

 int find(int x){return f[x]==x?x:f[x]=find(f[x]);}

 struct edge{int x,y,c;double w;}e[M];

 inline bool operator<(edge x,edge y){return x.w<y.w;}

 double solve()

 {

     for(int i=;i<=n;i++)f[i]=i;

     int tot=;double sum=;

     for(int i=;tot!=n-;i++)

     {

         int fx=find(e[i].x),fy=find(e[i].y);

         if(fx==fy)continue;

         tot++;

         f[fx]=fy;

         sum+=e[i].w;

     }

     return sum;

 }

 int main()

 {

     scanf("%d%d",&n,&m);

     for(int i=;i<=m;i++)

     scanf("%d%d%d",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].c),e[i].w=e[i].c;

     int Min,Max;

     sort(e+,e+m+);

     Min=solve();

     reverse(e+,e+m+);

     Max=solve();

     for(int i=Min;i<=Max;i++)

     {

         double ave=i*1.0/(n-);

         for(int j=;j<=m;j++)

         e[j].w=sqr(e[j].c-ave);

         sort(e+,e+m+);

         ans=min(ans,solve());

     }

     printf("%.4lf\n",sqrt(ans/(n-)));

 }