洛谷P4095||bzoj3163 [HEOI2013]Eden 的新背包问题

https://www.luogu.org/problemnew/show/P4095

不太会。。

网上有神奇的做法：

第一种其实是暴力（复杂度3e8...）然而可以A。考虑多重背包，发现没有办法快速删除某个物品造成的贡献。考虑对于每个i，求出an1[i]和an2[i]，分别表示对于[1,i]和[i,n]区间内所有物品的答案数组（如an1[i][j]表示[1,i]区间内用掉容量j可以带来的最大贡献），这个就是用普通多重背包求出来（可能要优化一下多重背包，以下用了二进制优化）。每次询问(x,y)，就暴力枚举在[1,x-1]和[x+1,n]区间内分别取多少容量的物品，取最大贡献。复杂度O(n*log(c)*e+q*e)(如果用二进制优化多重背包)

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<vector>
 using namespace std;
 #define fi first
 #define se second
 #define mp make_pair
 #define pb push_back
 typedef long long ll;
 typedef unsigned long long ull;
 typedef pair<int,int> pii;
 int n,n1;
 int c[],d[];
 int lp[],rp[];
 void work(int x,int y,int z)
 {
     //printf("1t%d %d %d %d\n",x,y,z,k);
     ++n1;x*=z;y*=z;
     c[n1]=x;d[n1]=y;
     //printf("1t%d %d\n",c[n1],d[n1]);
 }
 int qq;
 int ans;//int ans[10010];
 int an1[][];//an1[i][j]表示(前i个物品)j的容量最大价值
 int an2[][];//i及之后的物品...
 int main()
 {
     int i,j,x,y,z;
     scanf("%d",&n);
     for(i=;i<=n;++i)
     {
         scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
         lp[i]=n1+;
         for(j=;(j<<)-<=z;j<<=)
             work(x,y,j);
         if(z-j+)    work(x,y,z-j+);
         rp[i]=n1;
     }
     for(i=;i<=n1;++i)
     {
         memcpy(an1[i],an1[i-],sizeof(an1[i]));
         for(j=;j>=c[i];--j)
             an1[i][j]=max(an1[i][j],an1[i][j-c[i]]+d[i]);
     }
     for(i=n1;i>=;--i)
     {
         memcpy(an2[i],an2[i+],sizeof(an2[i]));
         for(j=;j>=c[i];--j)
             an2[i][j]=max(an2[i][j],an2[i][j-c[i]]+d[i]);
     }
     scanf("%d",&qq);
     for(i=;i<=qq;++i)
     {
         scanf("%d%d",&x,&y);++x;
         ans=;
         for(j=;j<=y;++j)
             ans=max(ans,an1[rp[x-]][j]+an2[lp[x+]][y-j]);
         printf("%d\n",ans);
     }
     return ;
 }

第二种是神奇的分治。注意到既不能快速删除多重背包中某个物品造成的贡献，又不能快速合并两个多重背包，但是可以快速向多重背包中加入一个物品。分治时维护一个多重背包的答案数组。solve(l,r)，就先把[l,mid]内部的物品加入多重背包，然后solve(mid+1,r)，再去掉[l,mid]内部物品造成的贡献（只需要恢复这一步操作之前的贡献数组即可），然后将[mid+1,r]内部的物品加入多重背包，solve(l,mid)，去掉[mid+1,r]内部造成的贡献。这样当进行到solve(l,l)时就恰好只有l这个物品自身没有加入多重背包了，此时对于所有对这个位置的询问处理一下即可。复杂度O(n*log(c)*e*log(n)+q)(如果用二进制优化多重背包)（然而以下代码洛谷上跑的比“暴力”慢???）

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<vector>
 using namespace std;
 #define fi first
 #define se second
 #define mp make_pair
 #define pb push_back
 typedef long long ll;
 typedef unsigned long long ull;
 typedef pair<int,int> pii;
 int n,n1;
 int c[],d[];
 int lp[],rp[];
 void work(int x,int y,int z)
 {
     ++n1;x*=z;y*=z;
     c[n1]=x;d[n1]=y;
 }
 vector<pii> q[];
 int qq;
 int an[];int ans[];
 void solve(int l,int r)
 {
     int i,j;
     if(l==r)
     {
         for(i=;i<q[l].size();++i)
             ans[q[l][i].se]=an[q[l][i].fi];
         return;
     }
     int mid=l+((r-l)>>);
     int an2[];
     memcpy(an2,an,sizeof(an2));
     for(i=lp[l];i<=rp[mid];++i)
         for(j=;j>=c[i];--j)
             an[j]=max(an[j],an[j-c[i]]+d[i]);
     solve(mid+,r);
     memcpy(an,an2,sizeof(an));
     for(i=lp[mid+];i<=rp[r];++i)
         for(j=;j>=c[i];--j)
             an[j]=max(an[j],an[j-c[i]]+d[i]);
     solve(l,mid);
     memcpy(an,an2,sizeof(an));
 }
 int main()
 {
     int i,j,x,y,z;
     scanf("%d",&n);
     for(i=;i<=n;++i)
     {
         scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
         lp[i]=n1+;
         for(j=;(j<<)-<=z;j<<=)
             work(x,y,j);
         if(z-j+)    work(x,y,z-j+);
         rp[i]=n1;
     }
     scanf("%d",&qq);
     for(i=;i<=qq;++i)
     {
         scanf("%d%d",&x,&y);++x;
         q[x].pb(pii(y,i));
     }
     solve(,n);
     for(i=;i<=qq;++i)
         printf("%d\n",ans[i]);
     return ;
 }