[物理学与PDEs]第1章第8节 静电场和静磁场 8.1 静电场

1. 静电场: 由静止电荷产生的稳定电场.

2. 此时, Maxwell 方程组为 $$\bex \Div{\bf D}=\rho_f,\quad \rot{\bf E}={\bf 0}. \eex$$ 于是 $$\bex {\bf E}=-\n\phi,\quad -\cfrac{\p}{\p x}\sex{\ve \cfrac{\p\phi}{\p x}}-\cfrac{\p}{\p y}\sex{\ve \cfrac{\p\phi}{\p y}} -\cfrac{\p}{\p z}\sex{\ve \cfrac{\p\phi}{\p z}}=\rho_f. \eex$$ 而在媒介内部, 静电势 $\phi$ 满足非齐次的拟调和方程.

2. 边界条件 (交界面条件) $$\bex \sez{{\bf D}}\cdot{\bf n}=\omega_f,\quad \sez{{\bf E}}\times{\bf n}={\bf 0} \eex$$ 化为电势满足的边界条件: $$\bex \sez{\ve\cfrac{\p\phi}{\p n}}=-\omega_f,\quad [\phi]=0\quad\sex{\mbox{经调整}}. \eex$$

4. 其他边界条件

(1) 带点导体以外空间的静电场

a. 每个导体上电荷分布的总和 $=$ 所加置的电荷总量.

b. 导体所带电荷以面电荷的形式分布在导体表面上 (趋肤效应).

c. 每个导体是等势体, 其上静电势为常数.

d. 自由电荷通过导体边界向外发出的总电通量 $=$ 导体上总自由电荷: $$\bex \int_{\p\Omega}{\bf D}\cdot{\bf n}\rd S=Q_f. \eex$$ 而边界条件: $$\bex \phi=\const,\quad \int_{\p\Omega}\ve\cfrac{\p \phi}{\p n}\rd S=Q_f\quad\sex{{\bf n} \mbox{ 指向导体内部}}. \eex$$ 这称为等直面边界条件 (总流量边界条件).

(2) 求解区域为无界域时, 边界条件还需加上: $$\bex \lim_{(x,y,z)\to\infty}\phi(x,y,z)=0. \eex$$

(3) 带电导体对称时, 边界条件须加上: $$\bex \cfrac{\p\phi}{\p n}=0. \eex$$

5. 静电场中的量用 $\phi$ 表示

(1) 比如电磁场能量密度: $$\bex \cfrac{1}{2}{\bf E}\cdot{\bf D}=\cfrac{\ve}{2}E^2=\cfrac{\ve}{2}|\n\phi|^2. \eex$$ 电磁能量: $$\beex \bea U_{e,m}&=\cfrac{1}{2}\int_\Omega \ve|\n \phi|^2\rd V\\ &=\cfrac{1}{2}\int_\Omega -{\bf D}\cdot\n \phi\rd V\\ &=\cfrac{1}{2}\int_\Omega \Div {\bf D} \cdot \phi\rd V -\cfrac{1}{2}\int_{\p\Omega} \Div(\phi{\bf D})\rd S\\ &=\cfrac{1}{2}\int_\Omega \rho_f\phi\rd V. \eea \eeex$$