【BZOJ 1076】[SCOI2008]奖励关（期望）

Description

你正在玩你最喜欢的电子游戏，并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里，系统将依次随机抛出k次宝物，

每次你都可以选择吃或者不吃（必须在抛出下一个宝物之前做出选择，且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃）。

宝物一共有n种，系统每次抛出这n种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说，即使前k-1次系统都抛出宝物1（

这种情况是有可能出现的，尽管概率非常小），第k次抛出各个宝物的概率依然均为1/n。 获取第i种宝物将得到Pi

分，但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第i种宝物有一个前提宝物集合Si。只有当Si中所有宝物都至少吃过

一次，才能吃第i种宝物（如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物，相当于白白的损失了一次机会）。注意，Pi可

以是负数，但如果它是很多高分宝物的前提，损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益。 假设你

采取最优策略，平均情况你一共能在奖励关得到多少分值？

Input

第一行为两个正整数k和n，即宝物的数量和种类。以下n行分别描述一种宝物，其中第一个整数代表分值，随

后的整数依次代表该宝物的各个前提宝物（各宝物编号为1到n），以0结尾。

Output

输出一个实数，保留六位小数，即在最优策略下平均情况的得分。

Sample Input

1 2
1 0
2 0

Sample Output

1.500000

HINT

【数据规模】

1<=k<=100,1<=n<=15，分值为[-10^6,106]内的整数。

题解

\(dp[i][j]\)第i轮操作，取物品操作为j的最优得分期望 。期望倒推，最终答案为\(dp[1][0]\)，倒推方程为

\[\begin{cases}
dp[i][j]=max{(dp[i+1][j],dp[i+1][j|(1<<(k))]+a[k])}, &(s[t] and j)==s[t]\\
dp[i][j]+=d[i+1][j], & other
\end{cases}\]

参考代码

#include<queue>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define inf 1000000000
using namespace std;
ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
void Out(ll a){
    if(a<0) putchar('-'),a=-a;
    if(a>=10) Out(a/10);
    putchar(a%10+'0');
}
const int N=105;
double dp[N][1<<16];
int a[16],s[16],sta[16];
int main(){
    for(int i=1;i<=16;i++) sta[i]=1<<(i-1);
    int k=read(),n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i]=read();
        int x=read();
        while(x){
            s[i]+=sta[x];   //第i个物品的前提宝物集合
            x=read();
        }
    }
    for(int i=k;i>=1;i--)  //k轮选择
        for(int j=0;j<=sta[n+1]-1;j++){  //前一轮各种操作
            for(int t=1;t<=n;t++)
                if((s[t]&j)==s[t])
                   dp[i][j]+=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j|sta[t]]+a[t]);
                else dp[i][j]+=dp[i+1][j];
            dp[i][j]/=n;
        }
    printf("%.6f\n",dp[1][0]);
    return 0;
}