title: 【概率论】5-6:正态分布(The Normal Distributions Part III)

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- The Normal Distributions

- The Standard Normal Distribution

- The Lognormal Distributions

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date: 2018-03-30 08:58:10



Abstract: 本文介绍正态分布第三部分,标准正态分布,正态分布的线性组合,对数正态分布以及对数正态分布

Keywords: The Normal Distributions,The Standard Normal Distribution

开篇废话

废话就是概率论基础知识部分快要结束了,接下来的关于数理统计部分的内容很多都是依赖概率论的知识的,所以打好基础才好继续深入。

本文继续介绍标准正态分布,以及正态分布不同参数的比较。

The Standard Normal Distribution

Definition Standard Normal Distribution.The normal distribution with mean 0 and variance 1 is called the standard normal distribution.The p.d.f. of the standard nromal distribution is usually denoted by the symbol ϕ\phiϕ ,and the c.d.f. is denoted by the symbol Φ\PhiΦ .Thus,

ϕ(x)=f(x∣0,1)=1(2π)1/2e−12x2 for −∞<x<∞
\phi(x)=f(x|0,1)=\frac{1}{(2\pi)^{1/2}}e^{-\frac{1}{2}x^2} \text{ for }-\infty<x<\infty
ϕ(x)=f(x∣0,1)=(2π)1/21​e−21​x2 for −∞<x<∞

and

Ψ(x)=∫−∞xΨ(μ)dμ for −∞&lt;x&lt;∞
\Psi(x)=\int^{x}_{-\infty}\Psi(\mu)d\mu \text{ for }-\infty&lt;x&lt;\infty
Ψ(x)=∫−∞x​Ψ(μ)dμ for −∞<x<∞

第二个公式中 μ\muμ 是个哑变量,根据微积分基本定理可以知道上面写的 c.d.f.的导数就是p.d.f.

正则化的本质就是均值为0,方差为1的正态分布被称为正态分布家族中的标准。

c.d.f是使用初等函数是无法求得的,也就是没有一个封闭的形式,就像本本节开始时说的,只能用查表或者数值法来求p.d.f的某段积分,或者查询c.d.f的结果做差得到对应段的p.d.f.

Theorem Consequences of Symmetry.For all x and all 0&lt;p&lt;10 &lt; p &lt; 10<p<1

Ψ(−x)=1−Ψ(x) and Ψ−1(p)=−Ψ−1(1−p)
\begin{aligned}
\Psi(-x)=1-\Psi(x)
\text{ and }
\Psi^{-1}(p)=-\Psi^{-1}(1-p)
\end{aligned}
Ψ(−x)=1−Ψ(x) and Ψ−1(p)=−Ψ−1(1−p)​

这个证明相对简单,其实主要考察的是上一篇关于正态分布的形状问题,正态分布p.d.f.的根本性质是对称性,关于均值对称,这个性质就可以衍生出上面定理的结论,比如 Pr(X≤−x)=Pr(X≥x)Pr(X\leq -x)=Pr(X\geq x)Pr(X≤−x)=Pr(X≥x) 就是对称性质的体现,然后是c.d.f.的反函数重新改写前面这个对称性质,等是左边为 Ψ−1(Ψ(−x))=Ψ−1(p)\Psi^{-1}(\Psi(-x))=\Psi^{-1}(p)Ψ−1(Ψ(−x))=Ψ−1(p) 以及 等式右边 Ψ−1(1−Ψ(x))=−Ψ−1(1−p)\Psi^{-1}(1-\Psi(x))=-\Psi^{-1}(1-p)Ψ−1(1−Ψ(x))=−Ψ−1(1−p)

Theorem Converting Normal Distributions to Standard.Let XXX have the normal distribution with mean μ\muμ and variance σ2\sigma^2σ2 .Let FFF be the c.d.f. of XXX .Then Z=(X−μ)/σZ=(X-\mu)/\sigmaZ=(X−μ)/σ has the standard normal distribution, and ,for all x and all 0&lt;p&lt;10 &lt; p &lt; 10<p<1

F(x)=Φ(x−μσ)F−1(p)=μ+σΦ−1(p)
F(x)=\Phi(\frac{x-\mu}{\sigma})\\
F^{-1}(p)=\mu+\sigma\Phi^{-1}(p)
F(x)=Φ(σx−μ​)F−1(p)=μ+σΦ−1(p)

这个定理要完成的一个任务是把一个一般的正态分布,通过随机变量的函数将原正态分布转换成标准正态分布,方法是目标随机变量减去均值后的差再除以标准差。

证明

Pr(X≤x)=Pr(Z≤x−μσ)
Pr(X\leq x)=Pr(Z\leq \frac{x-\mu}{\sigma})
Pr(X≤x)=Pr(Z≤σx−μ​)

这就能得到结论了,令 p=F(x)p=F(x)p=F(x) 能得到 F−1(p)=μ+σΦ−1(p)F^{-1}(p)=\mu+\sigma\Phi^{-1}(p)F−1(p)=μ+σΦ−1(p) 的结论。


我们来举个计算的例子,我们来计算一个正态分布中的概率,假设X有一个正态分布,均值是5方差是2,我们来计算 Pr(1&lt;X&lt;8)Pr(1&lt;X&lt;8)Pr(1<X<8)

如果我们令 Z=(X−5)/2Z=(X-5)/2Z=(X−5)/2 那么Z会有一个标准的正态分布并且:

Pr(1&lt;X&lt;8)=Pr(1−52&lt;X−52&lt;8−52)=Pr(−2&lt;Z&lt;1.5)futhermore:Pr(−1&lt;Z&lt;1.5)=Pr(Z&lt;1.5)−Pr(Z≤−2)=Φ(1.5)−Φ(−2)=Φ(1.5)−[1−Φ(2)]
Pr(1&lt;X&lt;8)=Pr(\frac{1-5}{2}&lt;\frac{X-5}{2}&lt;\frac{8-5}{2})=Pr(-2&lt;Z&lt;1.5)\\
\text{futhermore:}\\
\begin{aligned}
Pr(-1&lt;Z&lt;1.5)&amp;=Pr(Z&lt;1.5)-Pr(Z\leq -2)\\
&amp;=\Phi(1.5)-\Phi(-2)\\
&amp;=\Phi(1.5)-[1-\Phi(2)]
\end{aligned}
Pr(1<X<8)=Pr(21−5​<2X−5​<28−5​)=Pr(−2<Z<1.5)futhermore:Pr(−1<Z<1.5)​=Pr(Z<1.5)−Pr(Z≤−2)=Φ(1.5)−Φ(−2)=Φ(1.5)−[1−Φ(2)]​

从书后标准正态分布的表格中可以查到c.d.f.为 Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332Φ(1.5)=0.9332 并且 Φ(2)=0.9773\Phi(2)=0.9773Φ(2)=0.9773 所以

Pr(1&lt;X&lt;8)=0.9105
Pr(1&lt;X&lt;8)=0.9105
Pr(1<X<8)=0.9105


本section的精髓是,首先我们没办法计算正态分布的不定积分,所以想求值要查表,查表你有不能对每一个分布参数都建表,所以要制造一个标准,其他的不同参数和标准有数字关系,于是定义一个标准正态分布,然后所有正态分布和标准正态分布产生数字联系,就能用一张表解决问题了。

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