【概率论】5-10:二维正态分布(The Bivariate Normal Distributions)

title: 【概率论】5-10:二维正态分布(The Bivariate Normal Distributions)

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- The Bivariate Normal Distributions

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date: 2018-04-05 22:03:55

Abstract: 本文介绍第一个多变量连续分布——双变量正态分布(本篇内有未证明定理，需要后续要补充 )

Keywords: The Bivariate Normal Distributions

开篇废话

今天的废话想说说我们周围会有各种各样的事，各种各样的诱惑，各种各样的理由来告诉我们读书学习很苦而不学习也可以活的很好，但是坚持还是放弃只能选择一次，所以要慎重，开弓没有回头箭，放弃学习，就相当于放弃了一条抗争的路。

万般皆下品惟有读书高

今天我们来研究双变量的正态分布，多变量，连续分布。

对于某些研究者，可能用正态分布来非常好的描述某个随机变量，那么如果我们有两个随机变量，都可以用正态分布描述，而且他们之间存在关系，这时候我们就可以用一个双变量正态分布来描述了这两个变量之间的关系，并且这个二维分布的边缘分布，还是这两个随机变量单变量的分布。5.6中我们介绍了某些有正态分布的独立随机变量的线性组合还是正态分布。但是双变量正态分布（联合分布）可以是相关的。

Definition and Derivation of Bivariate Normal Distributions

Theorem Suppose that Z1Z_1Z1 and Z2Z_2Z2 are independent random variables,each of which has the standard normal distribution.Let μ1,μ2,σ1,σ2\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2μ1,μ2,σ1,σ2 ,and ρ\rhoρ be constants such that −∞<μi<∞(i=1,2)-\infty<\mu_i<\infty(i=1,2)−∞<μi<∞(i=1,2) , σi>0(i=1,2)\sigma_i>0(i=1,2)σi>0(i=1,2) ,and −1<ρ<1-1<\rho<1−1<ρ<1 . Define two new random variables X1X_1X1 and X2X_2X2 as follows:

(5.10.1)X1=σ1Z1+μ1X2=σ2[ρZ1+(1−ρ2)12Z2]+μ2
X_1=\sigma_1Z_1+\mu_1\\
X_2=\sigma_2[\rho Z_1+(1-\rho^2)^{\frac{1}{2}}Z_2]+\mu_2 \tag{5.10.1}
X1=σ1Z1+μ1X2=σ2[ρZ1+(1−ρ2)21Z2]+μ2(5.10.1)

The joint p.d.f. of X1X_1X1 and X2X_2X2 is

(5.10.2)f(x1,x2)=12π(1−ρ2)12σ1σ2e−12(1−ρ2)[(x1−μ1σ1)2−2ρ(x1−μ1σ1)(x2−μ2σ2)+(x2−μ2σ2)2]
f(x_1,x_2)=\frac{1}{2\pi(1-\rho^2)^{\frac{1}{2}}\sigma_1\sigma_2}e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[(\frac{x_1-\mu_1}{\sigma_1})^2-2\rho(\frac{x_1-\mu_1}{\sigma_1})(\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_2})+(\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_2})^2]}
\tag{5.10.2}
f(x1,x2)=2π(1−ρ2)21σ1σ21e−2(1−ρ2)1[(σ1x1−μ1)2−2ρ(σ1x1−μ1)(σ2x2−μ2)+(σ2x2−μ2)2](5.10.2)

上面这个定理的证明需要定理3.9.5 ，而定理3.9.5是个选证题，也就是说会在我们后面的高级课程中进行证明，所以这个定理也就没法证明了，在证明了3.9.5 以后，我们会对此定理进行证明。

Theorem Suppose that X1X_1X1 and X2X_2X2 have the joint distribution whose p.d.f. is given by Eq.(5.10.2) Then there exist independent standard normal random variables Z1Z_1Z1 and Z2Z_2Z2 such that Eqs (5.10.1) hold .Also,the mean of XiX_iXi is μi\mu_iμi and the variance of XiX_iXi is σi2\sigma_i^2σi2 for i=1,2i=1,2i=1,2 .Furthermore the correlation between X1X_1X1 and X2X_2X2 is ρ\rhoρ .Finally,the marginal distribution of XiX_iXi is the normal distribution with mean μi\mu_iμi and variance σi2\sigma_i^2σi2 for i=1,2i=1,2i=1,2

此定理的证明也需要 3.9.5 的结论，所以我们目前只做不严谨的推理，两个联合分布如5.10.2，那么他们中的一个随机变量的分布（也就是联合变量的边缘分布）就是一个正态分布。均值和方差可求。

Definition Bivariate Normal Distributions.When the joint p.d.f. of two random variables X1X_1X1 and X2X_2X2 is of the form in Eq(5.10.2),it is said that X1X_1X1 and X2X_2X2 have the bivariate normal distribution with mean μ1\mu_1μ1 and μ2\mu_2μ2 variance σ12\sigma_1^2σ12 and σ22\sigma_2^2σ22 ,and correlation ρ\rhoρ

以上就是第一部分要讲的内容，两个没证明的定理，和一个定义，这篇文章看起来有点水，确实是这样，但是如果没有知识又不完全，算是个占位符，但是双变量正态分布这个用途确实太多了，举个最简单的例子，我们的身高体重，就经常用双变量的正态分布来建模。

Properties of Bivariate Normal Distributions

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