树状数组 && 线段树应用 -- 求逆序数

参考：算法学习（二）——树状数组求逆序数 、线段树或树状数组求逆序数（附例题）

应用树状数组 || 线段树求逆序数是一种很巧妙的技巧，这个技巧的关键在于如何把原来单纯的求区间和操作转换为 求小于等于a的数的总数 再转换为 求序列里大于a的数的总数，学习这个技巧源于一道题目 poj 3067 Japan （一道需要YY后运用这个技巧求解的题目），此外这个技巧也让我联想到 树状数组区间加/单点求值的技巧（基于区间加法的思维），话不多说，开始正题。

一、什么是逆序数？

在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。一个排列中所有逆序总数叫做这个排列的逆序数。也就是说，对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如n个 不同的自然数，可规定从小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。一个排列中所有逆序总数叫做这个排列的逆序数。

举个栗子：如2431中，21，43，41，31是逆序，逆序数是4。

二、如何用树状数组求逆序数？

1、定义： a[ i ] 储存原始序列（事实上只需要一个变量 a 就ok了）, i 即 出现的顺序；c[ k ] 树状数组 k 为 a[ i ]。

2、步骤：按顺序输入储存原始序列 a[ i ] ， 输入的同时维护 c[ i ] , a[i] 出现 c[ a[i] ] 则加一， add（a[ i ], 1)；所以用数组数组求（1， a[i]) 的区间和的意义就变成了统计小于等于 a[ i ] 的数的个数， 若当前序列总数为 N， 则 N - sum( a ) 就是长度为N的序列中比 a 大的数字的总数了。

3、举个栗子：2431   ans = 0 + 0 + 1 + 3 = 4;   分别是(21, 43, 41, 31)。

i	a[ i ]	k	c[ 1 ] ~ c[ 4 ]	i - sum( k )
1	2	2	0 1 0 0	1 - 1 = 0
2	4	4	0 1 0 1	2 - 2 = 0
3	3	3	0 1 1 1	3 - 2 = 1
4	1	1	1 1 1 1	4 - 1 = 3

4、贴个代码：

 ///树状数组求逆序数
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 using namespace std;

 const int MAXN = ;
 int c[MAXN];
 int N;

 int lowbit(int x) ///实现树状数组需要的基本函数
 {
     return x&(-x);
 }

 void add(int i, int value)
 {
     while(i <= N)
     {
         c[i]+=value;
         i+=lowbit(i);
     }
 }

 int sum(int i)
 {
     int res = ;
     while(i > )
     {
         res+=c[i];
         i-=lowbit(i);
     }
     return res;
 }
 int main()
 {
     while(~scanf("%d", &N))
     {
         int ans = ;
         memset(c, , sizeof(c));
         for(int i = ; i <= N; i++)
         {
             int a;
             scanf("%d", &a);
             add(a, );
             ans+=i-sum(a);
         }
         printf("%d\n", ans);
     }
     return ;
 }

三、如何用线段树求逆序数

与树状数组原理，只不过实现的区间求和的方式不同罢了

直接贴代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define L(a) a<<1
#define R(a) (a<<1)|1
const int maxn = ;
int ans[maxn];
struct node{
    int num,l,r;
}tree[maxn<<];
int n;
void Build(int m,int l, int r){
    tree[m].l=l;
    tree[m].r=r;
    if(tree[m].l==tree[m].r){
        tree[m].num=;
        return ;
    }
    int mid = (tree[m].l+tree[m].r)>>;
    Build(L(m),l,mid);
    Build(R(m),mid+,r); //并不要回溯， 建立空树
}
void Insert(int m,int l,int r,int x){
    if(tree[m].l==l&&tree[m].r==r){
        tree[m].num+=x; return ;
    }
    int mid = (tree[m].l+tree[m].r)>>;
    if(r<=mid)
        Insert(L(m),l,r,x);
    else if(l>mid)
        Insert(R(m),l,r,x);
    else{
        Insert(L(m),l,mid,x);
        Insert(R(m),mid+,r,x);
    }
    tree[m].num=tree[L(m)].num+tree[R(m)].num;
}
int Query(int m,int l,int r){
    if(tree[m].l==l&&tree[m].r==r)
        return tree[m].num;
    int mid = (tree[m].l+tree[m].r)>>;
    if(r<=mid)
        return Query(L(m),l,r);
    if(l>mid)
        return Query(R(m),l,r);
    return Query(L(m),l,mid)+Query(R(m),mid+,r);
}
int main(){
    int a,n,i,t;

        int k=;
        scanf("%d",&n);
        memset(tree,,sizeof(tree));
        Build(,,n);
        for(int i=;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&ans[i]);
        }
        for(int i=;i<=n;i++){
            Insert(,ans[i],ans[i],);// 每个位置插入1
            k+=(i - Query(,,ans[i]));
        }
        printf("%d\n",k);

    return ;
}

四、几道题目

1、HDU 1394

思路：树状数组+暴力（每次a[ i ] 掉到最后的时候 减去比 a[ i ] 小的数, 加上比 a[ i ] 大的数）

Ac Code:

 ///HDU 1394 树状数组

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 #define INF 0x3f3f3f3f
 using namespace std;

 const int MAXN = ;

 int N;
 int c[MAXN], a[MAXN];

 int lowbit(int x)
 {
     return x&(-x);
 }

 void add(int i, int value)
 {
     while(i <= N)
     {
         c[i]+=value;
         i+=lowbit(i);
     }
 }

 int sum(int i)
 {
     int res = ;
     while(i > )
     {
         res+=c[i];
         i-=lowbit(i);
     }
     //printf("%d\n" ,res);
     return res;
 }

 int main()
 {
     int cnt = ;
     while(~scanf("%d", &N))
     {
         cnt = ;
         memset(c, , sizeof(c));
         memset(a, , sizeof(a));
         for(int i = ; i <= N; i++)
         {
             scanf("%d", &a[i]);
             a[i]++;
             add(a[i], );
             cnt+=i-sum(a[i]);
         }

         int ans = cnt;
         //printf("%d\n", ans);
         for(int i = ; i <= N; i++)
         {
             a[i]--;
             cnt = cnt-a[i]*+N-;
             ans = min(ans, cnt);
             //printf("%d\n", ans);
         }
         printf("%d\n", ans);
     }
     return ;
 }