P1357 花园

题目描述

小\(L\)有一座环形花园,沿花园的顺时针方向,他把各个花圃编号为\(1~N(2<=N<=10^{15})\)。他的环形花园每天都会换一个新花样,但他的花园都不外乎一个规则,任意相邻\(M(2<=M<=5,M<=N)\)个花圃中有不超过\(K(1<=K<M)\)个\(C\)形的花圃,其余花圃均为\(P\)形的花圃。

例如,\(N=10,M=5,K=3\)。则

\(CCPCPPPPCC\)是一种不符合规则的花圃;

\(CCPPPPCPCP\)是一种符合规则的花圃。

请帮小\(L\)求出符合规则的花园种数\(Mod\) 1000000007

由于请您编写一个程序解决此题。

输入输出格式

输入格式:

一行,三个数\(N,M,K\)。

输出格式:

花园种数\(Mod\) 1000000007

说明

40%的数据中,\(N<=20\);

60%的数据中,\(M=2\);

80%的数据中,\(N<=10^5\)。

100%的数据中,\(N<=10^{15}\)。


这道题的思维难度是真的大(也可能是我菜)

请顺着看(我就是因为直接看别人题解没彻底理解前面的就去往后翻导致理解了很久)


80分给了状压DP

不考虑环时

令\(dp[i][j]\)代表当进行到第\(i\)个位置时,前\(M\)位的状态为\(j\)

\(dp[i][j]=dp[i-1][k]\),\(k\)为合法的前一位状态。

关于状压的思路,有两个导向性。

(1) \(2<=M<=5\)

(2) 当进行转移时,要想知道合不合法得知道前\(M\)位上的所有数。


当然,如果想不到如何处理环,状压的80分也白瞎。

想想在状压中,我们的状态实质上是一个区间,我们进行递推的时候,实际上相当于把这个区间向右滑动。

如果我们这时候只对一个初始合法区间\(j_0\)进行移动,当移动了\(n\)次以后,它可能到达很多个状态。但是如果它和自己重合了,不就连成了一个环了吗?

这时候\(dp[n][j_0]\)就代表只移动合法区间\(j_0\)所构成的环的方案数。

我们把每个初始合法区间都做一次这样的状压\(DP\),统计答案。

复杂度:\(O(M!^3*N)\)

当然实际上我们通过预处理,可以得到类似\(dx[i][j]\)这样的数组,表示状态\(i\)是否可以到达状态\(j\)。使复杂度远远达不到上界。


我们发现,\(N\)的长度和\(dx[i][j]\)没有什么关系,而\(dx[i][j]\)又是一个矩阵。

那么当忽略\(i\)这一维度时,\(dp[j]\)通过\(dx[i][j]\)向后一位进行递推,不就是矩阵乘法吗?

左边是推到某一位了,和右边矩阵相乘得到下一位。

可以直接用矩阵快速幂求解可达性矩阵的\(N\)次方,然后与每一个初始合法状态相乘。

我们发现,可达性矩阵和第\(j\)个状态的初始矩阵进行相乘后,只能取\((j,j)\)位置的值,所以最终的答案即是可达性矩阵乘方后对角线值之和。


Code:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define ll long long
const int N=123;
const ll mod=1e9+7;
ll n;
int m,k,len;
struct matrix
{
ll dx[N][N];
matrix()
{
memset(dx,0,sizeof(dx));
}
matrix friend operator *(matrix n1,matrix n2)
{
matrix n3;
for(int i=0;i<=len;i++)
for(int j=0;j<=len;j++)
for(int k=0;k<=len;k++)
n3.dx[i][j]=(n3.dx[i][j]+n1.dx[i][k]*n2.dx[k][j])%mod;
return n3;
}
}d,f;
bool check(int x)
{
int cnt=k;
while(x)
{
cnt--;
x-=x&-x;
}
return cnt>=0;
}
void init()
{
scanf("%lld%d%d",&n,&m,&k);//m中不超过k个1
len=(1<<m)-1;
for(int i=0;i<=len;i++)
{
if(!check(i))
continue;
int to=(i<<1)&len;
if(!check(to))
continue;
d.dx[to][i]=1;
to=to|1;
if(!check(to))
continue;
d.dx[to][i]=1;
}
for(int i=0;i<=len;i++)
f.dx[i][i]=1;
}
void quick_pow()
{
while(n)
{
if(n&1)
f=f*d;
d=d*d;
n>>=1;
}
}
void work()
{
quick_pow();
ll ans=0;
for(int i=0;i<=len;i++)
ans=(ans+f.dx[i][i])%mod;
printf("%lld\n",ans);
}
int main()
{
init();
work();
return 0;
}

2018.7.2

洛谷 P1357 花园 解题报告的更多相关文章

  1. 题解:洛谷P1357 花园

    题解:洛谷P1357 花园 Description 小 L 有一座环形花园,沿花园的顺时针方向,他把各个花圃编号为 \(1∼n\).花园 \(1\) 和 \(n\) 是相邻的. 他的环形花园每天都会换 ...

  2. 洛谷 P2058 海港 解题报告

    P2058 海港 题目描述 小K是一个海港的海关工作人员,每天都有许多船只到达海港,船上通常有很多来自不同国家的乘客. 小K对这些到达海港的船只非常感兴趣,他按照时间记录下了到达海港的每一艘船只情况: ...

  3. 洛谷 P3956 棋盘 解题报告

    P3956 棋盘 题目描述 有一个\(m×m\)的棋盘,棋盘上每一个格子可能是红色.黄色或没有任何颜色的.你现在要从棋盘的最左上角走到棋盘的最右下角. 任何一个时刻,你所站在的位置必须是有颜色的(不能 ...

  4. 洛谷 P1979 华容道 解题报告

    P1979 华容道 题目描述 小\(B\)最近迷上了华容道,可是他总是要花很长的时间才能完成一次.于是,他想到用编程来完成华容道:给定一种局面, 华容道是否根本就无法完成,如果能完成, 最少需要多少时 ...

  5. BZOJ 3545 / 洛谷 P4197 Peaks 解题报告

    P4197 Peaks 题目描述 在\(\text{Bytemountains}\)有\(N\)座山峰,每座山峰有他的高度\(h_i\).有些山峰之间有双向道路相连,共\(M\)条路径,每条路径有一个 ...

  6. 虔诚的墓主人(BZOJ1227)(洛谷P2154)解题报告

    题目描述 小W是一片新造公墓的管理人.公墓可以看成一块N×M的矩形,矩形的每个格点,要么种着一棵常青树,要么是一块还没有归属的墓地. 当地的居民都是非常虔诚的基督徒,他们愿意提前为自己找一块合适墓地. ...

  7. [洛谷P1357] 花园

    题目类型:状压\(DP\) -> 矩阵乘法 绝妙然而思维难度极其大的一道好题! 传送门:>Here< 题意:有一个环形花圃,可以种两种花:0或1. 要求任意相邻的\(M\)个花中1的 ...

  8. 洛谷P1357 花园(状态压缩 + 矩阵快速幂加速递推)

    题目链接:传送门 题目: 题目描述 小L有一座环形花园,沿花园的顺时针方向,他把各个花圃编号为1~N(<=N<=^).他的环形花园每天都会换一个新花样,但他的花园都不外乎一个规则,任意相邻 ...

  9. 洛谷 P2672 推销员 解题报告

    P2672 推销员 题目描述 阿明是一名推销员,他奉命到螺丝街推销他们公司的产品.螺丝街是一条死胡同,出口与入口是同一个,街道的一侧是围墙,另一侧是住户.螺丝街一共有N家住户,第i家住户到入口的距离为 ...

随机推荐

  1. Siki_Unity_7-4_高自由度沙盘游戏地图生成_MineCraft_Uniblocks插件(可拓展)

    Unity 7-4 高自由度沙盘游戏地图生成 MineCraft (插件Uniblocks) 任务1&2&3&4 素材 && 课程演示 && 课 ...

  2. docker实现跨主机连接

    实验环境: centos7系统 host1:192.168.42.128 host2:192.168.42.129 dokcer容器跨主机连接 1.使用网桥实现跨主机容器连接 2.使用Open vSw ...

  3. hadoop之计数器和管道的mrunit测试

    引言 hadoop的调试真心让人灰常恼火,而且从企业实际出发,集群的资源是有限的,不可能在集群上跑一遍又一遍根据log去调试代码,那么使用MRUnit编写测试单元,显得尤为重要.MRUnit中的Map ...

  4. IPC_Binder_java_2

    title: IPC_Binder_java_2 date: 2017-07-04 14:47:55 tags: [IPC,Binder] categories: [Mobile,Android] - ...

  5. dirname命令详解

    基础命令学习目录首页 原文链接:https://blog.csdn.net/xiaofei125145/article/details/50620281 示例一 来自手册页的例子 $ dirname ...

  6. React Native iOS 离线包

    平时使用React Native 时候, js代码和图片资源运行在一个Debug Server上(需要cd 到RN目录,然后终端执行 npm start 命令开启本地服务 ).每次更新代码之后只需要使 ...

  7. Scrum Meeting 9 -2014.11.15

    项目开发测试要进入尾声了.大家加把劲,这周末能整合完成就最好了. 服务器方面已经能运行我们的程序了.还需要研究如何与其他两小组整合. Member Today’s task Next task 林豪森 ...

  8. BugPhobia发布篇章:学霸在线系统正式发布

    Alpha阶段的服务器部署和移植工作最终完成,http://10.2.26.67/,期待您的访问~ 首先,请允许bugphobia团队对您的访问给予感谢以及诚恳的致歉.受服务器端的硬件限制,目前学霸在 ...

  9. 第二阶段每日站立会议Fifth Day

    昨天继续调试手机界面,解决了Tomcat服务可以打开,但是无法连接到数据库的问题 今天做最后的准备阶段,完善卖家后台管理界面

  10. 用JAVA制作微型操作系统4月23日情况

    弄好了一个自认为十分精美的界面,但本想着昨天就在开始按钮上先套入控制jp222面板上的jb2标签上的时间更新,这按钮起到开始线程的作用(我认为按钮应该可以通过t.start()来触发线程,结果不知为什 ...