[题解] CF786B Legacy

前言

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题意

有 \(n\) 个点，\(q\) 次连边，以及起点 \(s\) 。连边具体分三种：

1. \(1\) \(v\) \(u\) \(w\) 从 \(v\) 到 \(u\) 连一条边。
2. \(2\) \(v\) \(l\) \(r\) \(w\) 从 \(v\) 向 \(l\) 到 \(r\) 所有点连一条边。
3. \(3\) \(v\) \(l\) \(r\) \(w\) 从 \(l\) 到 \(r\) 所有点向 \(v\) 连一条边。

求所有点的最短路。

思路

以前做过一道比较类似的题：T'ill It's Over 都是线段树优化连边。

建立两棵线段树记为 \(A\) ， \(B\) ，线段树 \(A\) 的所有结点向上连结父节点，线段树 \(B\) 的所有节点向下连结自己的子节点。

那么操作就可以看成 \(A\) 树对应区间连向 \(B\) 树对应区间，就转换为普通的线段树区间查询了。

现在需要考虑如何将 \(B\) 树的状态转换到 \(A\) 树上。

只需要将 \(B\) 树的结点连向 \(A\) 的对应结点就好了。

由于状态最后都会回归到 \(A\) 树中，所以最后查询 \(A\) 树中叶子结点区间为 \([i,i](i\in [1,n])\) 的点的最短路径，即为答案。

算法总时间复杂度为 \(O(n\log n*log((n+q)\log n))\) ，大概就是 \(O(n\log^2n)\) 级别的。

Code

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
namespace Quick_Function {
	template <typename Temp> void Read(Temp &x) {
		x = 0; char ch = getchar(); bool op = 0;
		while(ch < '0' || ch > '9') { if(ch == '-') op = 1; ch = getchar(); }
		while(ch >= '0' && ch <= '9') { x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar(); }
		if(op) x = -x;
	}
	template <typename T, typename... Args> void Read(T &t, Args &... args) { Read(t); Read(args...); }
	template <typename Temp> Temp Max(Temp x, Temp y) { return x > y ? x : y; }
	template <typename Temp> Temp Min(Temp x, Temp y) { return x < y ? x : y; }
	template <typename Temp> Temp Abs(Temp x) { return x < 0 ? (-x) : x; }
	template <typename Temp> void Swap(Temp &x, Temp &y) { x ^= y ^= x ^= y; }
}
using namespace Quick_Function;
#define INF 1e17
#define int long long
const int MAXN = 5e5 + 5;
const int MAXM = 5e6 + 5;
struct Edge { int To, Dist, Next; };
int head[MAXN], edgetot = 1;
Edge edge[MAXM];
void Addedge(int u, int v, int w) { edge[++edgetot].Next = head[u], edge[edgetot].To = v, edge[edgetot].Dist = w, head[u] = edgetot; }
struct Node {
	int id, dis;
	Node() {}
	Node(int I, int D) { id = I, dis = D; }
	friend bool operator < (Node x, Node y) { return x.dis > y.dis; }
};
priority_queue<Node> que;
int dis[MAXN];
bool vis[MAXN];
int n, q, s, p;
struct Segment_Node {
	int l, r, id;
	#define LS(x) (x << 1)
	#define RS(x) (x << 1 | 1)
};
struct Segment_Tree {
	Segment_Node t[MAXN << 2][2];//0为A线段树，1为B线段树
	int tot;
	void Build(int pos, int l, int r, int flag) {//初始化建树
		t[pos][flag].l = l, t[pos][flag].r = r, t[pos][flag].id = ++tot;
		if(l == r) {
			if(l == s && !flag) p = t[pos][flag].id;
			if(flag) Addedge(t[pos][1].id, t[pos][0].id, 0);//这里忘写调了半个小时QAQ
			return;
		}
		int mid = (l + r) >> 1;
		Build(LS(pos), l, mid, flag); Build(RS(pos), mid + 1, r, flag);
		if(!flag) {
			Addedge(t[LS(pos)][flag].id, t[pos][flag].id, 0);
			Addedge(t[RS(pos)][flag].id, t[pos][flag].id, 0);
		}
		else {
			Addedge(t[pos][flag].id, t[LS(pos)][flag].id, 0);
			Addedge(t[pos][flag].id, t[RS(pos)][flag].id, 0);
			Addedge(t[pos][1].id, t[pos][0].id, 0);
		}
	}
	int Query(int pos, int x, int flag) {//查询区间为[x,x]的叶子结点
		if(t[pos][flag].l == t[pos][flag].r) return t[pos][flag].id;
		if(x <= t[LS(pos)][flag].r) return Query(LS(pos), x, flag);
		else return Query(RS(pos), x, flag);
	}
	void Update1(int pos, int l, int r, int x, int w) {//一连多
		if(l <= t[pos][1].l && t[pos][1].r <= r) {
			Addedge(Query(1, x, 0), t[pos][1].id, w);
			return;
		}
		if(l <= t[LS(pos)][1].r) Update1(LS(pos), l, r, x, w);
		if(r >= t[RS(pos)][1].l) Update1(RS(pos), l, r, x, w);
	}
	void Update2(int pos, int l, int r, int x, int w) {//多连一
		if(l <= t[pos][0].l && t[pos][0].r <= r) {
			Addedge(t[pos][0].id, Query(1, x, 1), w);
			return;
		}
		if(l <= t[LS(pos)][0].r) Update2(LS(pos), l, r, x, w);
		if(r >= t[RS(pos)][0].l) Update2(RS(pos), l, r, x, w);
	}
};
Segment_Tree tree;
void Dijkstra() {//最短路
	for(int i = 1; i <= tree.tot; i++) dis[i] = INF;
	que.push(Node(p, 0)); dis[p] = 0;
	while(!que.empty()) {
		int u = que.top().id; que.pop();
		if(vis[u]) continue;
		vis[u] = 1;
		for(int i = head[u]; i; i = edge[i].Next) {
			int v = edge[i].To;
			if(dis[v] > dis[u] + edge[i].Dist) {
				dis[v] = dis[u] + edge[i].Dist;
				que.push(Node(v, dis[v]));
			}
		}
	}
}
signed main() {
	Read(n, q, s);
	tree.Build(1, 1, n, 0); tree.Build(1, 1, n, 1);
	for(int i = 1, opt, u, v, l, r, w; i <= q; i++) {
		Read(opt, u);
		if(opt == 1) {
			Read(v, w);
			tree.Update1(1, v, v, u, w);
		}
		else if(opt == 2) {
			Read(l, r, w);
			tree.Update1(1, l, r, u, w);
		}
		else {
			Read(l, r, w);
			tree.Update2(1, l, r, u, w);
		}
	}
	Dijkstra();
	for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%lld ", dis[tree.Query(1, i, 0)] == INF? -1 : dis[tree.Query(1, i, 0)]);
	return 0;
}