[bzoj4827] [洛谷P3723] [Hnoi2017] 礼物

Description###

我的室友最近喜欢上了一个可爱的小女生。马上就要到她的生日了，他决定买一对情侣手 环，一个留给自己，一

个送给她。每个手环上各有 n 个装饰物，并且每个装饰物都有一定的亮度。但是在她生日的前一天，我的室友突

然发现他好像拿错了一个手环，而且已经没时间去更换它了！他只能使用一种特殊的方法，将其中一个手环中所有

装饰物的亮度增加一个相同的自然数 c（即非负整数）。并且由于这个手环是一个圆，可以以任意的角度旋转它，

但是由于上面 装饰物的方向是固定的，所以手环不能翻转。需要在经过亮度改造和旋转之后，使得两个手环的差

异值最小。在将两个手环旋转且装饰物对齐了之后，从对齐的某个位置开始逆时针方向对装饰物编号 1,2,…,n，

其中 n 为每个手环的装饰物个数，第 1 个手环的 i 号位置装饰物亮度为 xi，第 2 个手 环的 i 号位置装饰物

亮度为 yi，两个手环之间的差异值为(参见输入输出样例和样例解释)： \(\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2\) 麻烦你帮他

计算一下，进行调整（亮度改造和旋转），使得两个手环之间的差异值最小， 这个最小值是多少呢？

Input###

输入数据的第一行有两个数n, m，代表每条手环的装饰物的数量为n，每个装饰物的初始 亮度小于等于m。

接下来两行，每行各有n个数，分别代表第一条手环和第二条手环上从某个位置开始逆时 针方向上各装饰物的亮度。

1≤n≤50000, 1≤m≤100, 1≤ai≤m

Output###

输出一个数，表示两个手环能产生的最小差异值。

注意在将手环改造之后，装饰物的亮度 可以大于 m。

Sample Input###

5 6

1 2 3 4 5

6 3 3 4 5

Sample Output###

1

【样例解释】

需要将第一个手环的亮度增加1，第一个手环的亮度变为： 2 3 4 5 6 旋转一下第二个手环。对于该样例，是将第

二个手环的亮度6 3 3 4 5向左循环移动 2017-04-15 第 6 页，共 6 页 一个位置，使得第二手环的最终的亮度为

：3 3 4 5 6。 此时两个手环的亮度差异值为1。

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想法##

上来推一波式子

\[\begin{equation*}
\begin{aligned}
ans&=\sum(x_i-y_i+c)^2 \\
&=\sum x_i^2 + y_i^2 +c^2 +2c(x_i-y_i) -2 x_i y_i \\
&=\sum x_i^2 + \sum y_i^2 + nc^2 + 2c \sum (x_i-y_i) -2\sum x_iy_i
\end{aligned}
\end{equation*}
\]

我们发现，其中 \(n c^2 + 2c \sum (x_i-y_i)\) 与c有关，$ -2\sum x_i y_i$ 与手环的旋转有关。

与c有关的就是一个二次函数，顶点处取到最小值。

与手环旋转有关的那部分可以用fft，中间一个小trick:

将 \(x_i\) 后面接一个\(x_i\)，\(y_i\) 逆序。

这样fft求出的卷积便是旋转后对应装饰物的乘积的和。

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代码##

精度问题，精度问题，精度问题！！！！！！！！

c有可能是负的，四舍五入时要注意。

不能直接算顶点纵坐标然后四舍五入，因为那样得出的值所对应的c不一定是整数。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>

using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 50005;
const int M = N*4;
const double pi = 3.1415926535897932384626433832795;

struct c{
    double r,i;
    c() { r=i=0.0; }
    c(double x,double y) { r=x; i=y; }
    c operator + (const c &b) { return c(r+b.r,i+b.i); }
    c operator += (const c &b) { return *this=*this+b; }
    c operator - (const c &b) { return c(r-b.r,i-b.i); }
    c operator -= (const c &b) { return *this=*this-b; }
    c operator * (const c &b) { return c(r*b.r-i*b.i,b.r*i+r*b.i); }
    c operator *= (const c &b) { return *this=*this*b; }
}a[M],b[M],x[M];

int l,r[M];
void fft(c *A,int ty){
    for(int i=0;i<l;i++) x[r[i]]=A[i];
    for(int i=0;i<l;i++) A[i]=x[i];
    for(int i=2;i<=l;i<<=1){
        c wn(cos(pi*2/i),ty*sin(pi*2/i));
        for(int j=0;j<l;j+=i){
            c w(1,0);
            for(int k=j;k<j+i/2;k++){
                c t=A[k+i/2]*w;
                A[k+i/2]=A[k]-t;
                A[k]+=t;
                w*=wn;
            }
        }
	}
}

int m,n;
ll sum1,sum2,c;

int main()
{
	ll x;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%lld",&x);
        sum1+=x;
        sum2+=x*x;
		a[i].r=(double)x;
    }
    for(int i=0;i<n;i++) a[i+n].r=a[i].r;
    for(int i=0;i<n;i++){
      	scanf("%lld",&x);
		sum1-=x;
		sum2+=x*x;
		b[i].r=(double)x;
    }
    for(int i=0;i<n/2;i++) swap(b[i],b[n-i-1]);

    l=1;
    while(l<=(n*2)) l<<=1;  //注意了，不是m+n qwq
    for(int i=0;i<l;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)*(l>>1));

    fft(a,1); fft(b,1);
    for(int i=0;i<l;i++) a[i]*=b[i];
    fft(a,-1);

    ll ans=0;
    for(int i=n-1;i<n*2;i++) ans=max(ans,(ll)(a[i].r/l+0.5));
    ans=sum2-2*ans;
    if(sum1<0) c=(ll)((double)-sum1/(double)n+0.5);
    else c=-(ll)((double)sum1/(double)n+0.5);
    ans+=c*c*n+c*2*sum1;
    printf("%lld\n",ans);

    return 0;
}