图->有向无环图->拓扑排序

文字描述

　　关于有向无环图的基础定义：

　　　　一个无环的有向图称为有向无环图，简称DAG图(directed acycline graph)。DAG图是一类较有向树更一般的特殊有向图。

　　

　　　　举个例子说明有向无环图的应用。假如有一个表达式: ((a+b)*(b*(c+d))+(c+d)*e)*((c+d)*e), 可以用之前讨论的二叉树来表示，也可以用有向无环图来表示，如下图。显然有向无环图实现了对相同子式的共享，从而比二叉树更节省空间。

　　

　　关于拓扑排序的基础定义:

　　　　由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全须，这个操作称之为拓扑排序。理解起来可能有点费解，但是通俗的讲，就是如下几个操作步骤：

　　　　　　1 在有向图中选一个没有前驱的顶点且输出之

　　　　　　2 从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧。

　　　　重复上述两步，直至全部顶点均已输出，或者当前图中不存在无前驱的顶点为止。后一种情况说明有向图中存在环。

　　备注：AOV-网(Activity On Vertex Network)的意思是用顶点表示活动，用弧表示活动间的优先关系的有向图称为顶点表示活动的网。

示意图：

算法分析

　　对n个顶点和e条弧的有向图而言，建立求各顶点的入度的时间复杂度为O(e)；建零入度顶点栈的时间复杂度为O(n)；在拓扑排序过程中，若有向图无环，则每个顶点进一次栈，出一次栈，入度减1的操作在while语句中总共进行e次，所以总的时间复杂度为O(n+e)。

代码实现

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 // Created by lady on 18-12-28.
 //
 #include <stdio.h>
 #include <stdlib.h>
 #define MAX_VERTEX_NUM 20 //最大顶点数
 typedef enum {DG,DN, UDG, UDN} GraphKind; //{有向图，有向网，无向图，无向网}
 typedef struct ArcNode{
     int adjvex;    //该弧所指向的顶点的位置
     struct ArcNode *nextarc;    //指向下一条弧的指针
     char info;    //该弧相关信息的指针
 }ArcNode;
 typedef struct VNode{
     char data[];//顶点信息
     ArcNode *firstarcIN;//第一条以该顶点为弧头的弧结点，其他顶点->该结点
     ArcNode *firstarcOUT;//第一条以该顶点为弧尾的弧结点，该结点->其他顶点
 }VNode, AdjList[MAX_VERTEX_NUM];
 typedef struct{
     AdjList vertices;
     int vexnum;//图的顶点数
     int arcnum;//图的弧数
     int kind; //图的种类标志
 }ALGraph;

 //根据顶点信息，返回该顶点在图中的位置坐标。
 int LocateVex(ALGraph *G, char data[])
 {
     int i = ;
     for(i=; i<G->vexnum; i++){
         if(!strncmp(G->vertices[i].data, data, strlen(G->vertices[i].data))){
             return i;
         }
     }
     return -;
 }

 //利用头插法，在弧结点链表头部，插入位置v的弧结点
 int InsFirst(ArcNode *L, int v)
 {
     if((L==NULL) || (v<)){
         return -;
     }
     ArcNode *n = (ArcNode *)malloc(sizeof(struct ArcNode));
     n->adjvex = v;
     n->nextarc = L->nextarc;
     L->nextarc = n;
     return ;
 }

 //采用邻接表存储方法，创建有向图
 int CreateDG(ALGraph *G)
 {
     printf("开始创建一个有向图,请输入顶点数，弧数:");
     int i = , j = , k = ;
     char v1[] = {}, v2[]={};
     char tmp[] = {};
     G->kind = DG;
     scanf("%d,%d", &G->vexnum, &G->arcnum);
     for(i=; i<G->vexnum; i++){
         printf("输入第%d个顶点: ", i+);
         memset(G->vertices[i].data, , sizeof(G->vertices[i].data));
         scanf("%s", G->vertices[i].data);
         G->vertices[i].firstarcOUT = (struct ArcNode *)malloc(sizeof(struct ArcNode));
         G->vertices[i].firstarcOUT->adjvex = -;
         G->vertices[i].firstarcOUT->nextarc = NULL;
         G->vertices[i].firstarcIN = (struct ArcNode *)malloc(sizeof(struct ArcNode));
         G->vertices[i].firstarcIN->adjvex = -;
         G->vertices[i].firstarcIN->nextarc = NULL;
     }
     for(k=; k<G->arcnum; k++)
     {
         printf("输入第%d条弧(顶点1, 顶点2): ", k+);
         memset(tmp, , sizeof(tmp));
         scanf("%s", tmp);
         sscanf(tmp, "%[^','],%s[^\\n]", v1, v2);
         i = LocateVex(G, v1);
         j = LocateVex(G, v2);
         if(i< || j<){
             printf("<%s,%s> is a invalid arch!\n", v1, v2);
             return -;
         }
         InsFirst(G->vertices[i].firstarcOUT, j);
         InsFirst(G->vertices[j].firstarcIN, i);
     }
     return ;
 }

 void printG(ALGraph *G)
 {
     printf("\n");
     if(G->kind == DG){
         printf("类型：有向图；顶点数 %d, 弧数 %d\n", G->vexnum, G->arcnum);
     }else if(G->kind == DN){
         printf("类型：有向网；顶点数 %d, 弧数 %d\n", G->vexnum, G->arcnum);
     }else if(G->kind == UDG){
         printf("类型：无向图；顶点数 %d, 弧数 %d\n", G->vexnum, G->arcnum);
     }else if(G->kind == UDN){
         printf("类型：无向网；顶点数 %d, 弧数 %d\n", G->vexnum, G->arcnum);
     }
     int i = ;
     ArcNode *p = NULL;
     printf("邻接表:\n");
     for(i=; i<G->vexnum; i++){
         printf("(%d,%s)\t", i,G->vertices[i].data);
         p = G->vertices[i].firstarcOUT;
         while(p){
             if(p->adjvex >= )
                 printf("(%d,%s)\t", p->adjvex, G->vertices[p->adjvex].data);
             p = p->nextarc;
         }
         printf("\n");
     }
     printf("逆邻接表:\n");
     for(i=; i<G->vexnum; i++){
         printf("(%d,%s)\t", i,G->vertices[i].data);
         p = G->vertices[i].firstarcIN;
         while(p){
             if(p->adjvex >= )
                 printf("(%d,%s)\t", p->adjvex, G->vertices[p->adjvex].data);
             p = p->nextarc;
         }
         printf("\n");
     }
     return;
 }

 #define STACK_INIT_SIZE 20  //栈的初始分配量大小
 #define STACK_INCREMENT 5   //栈容量不足时需新增的容量大小
 typedef struct {
     int *base;  //指向栈底指针
     int *top;   //指向栈顶指针
     int stacksize;  //栈的当前容量大小
 }SqStack;

 int InitStack(SqStack *s);  //初始化一个栈
 int StackEmpty(SqStack *s); //判断栈是否为空
 int Push(SqStack *S, int *e);  //入栈函数
 int Pop(SqStack *S, int *e);    //出栈函数

 //算法各个顶点的入度，并将结果存放在indegree数组中
 int FindInDegree(ALGraph *G, int indegree[])
 {
     printf("\n对各个顶点求入度...\n");
     int i = ;
     ArcNode *p = NULL;
     for(i=; i<G->vexnum; i++) {
         p = G->vertices[i].firstarcIN;
         while (p) {
             if (p->adjvex >= ) {
                 indegree[i] += ;
             }
             p = p->nextarc;
         }
     }
     for(i=; i<G->vexnum; i++){
         printf("(%d,%s)的入度为%d\n", i, G->vertices[i].data, indegree[i]);
     }
     return ;
 }

 //进行拓扑排序
 int ToplogicalSort(ALGraph *G)
 {
     int i = ;
     int k = ;
     int count = ;
     int indegree[MAX_VERTEX_NUM] = {};
     ArcNode *p = NULL;
     SqStack S;
     //求各个顶点的入度
     FindInDegree(G, indegree);
     if(InitStack(&S) <){
         return -;
     }
     //将入度为0的顶点入栈.
     for(i=; i<G->vexnum; i++){
         if(!indegree[i]) {
             Push(&S, &i);
         }
     }
     printf("\n进行拓扑排序:");
     while(StackEmpty(&S)){
         //如果栈不为空
         Pop(&S, &i);
         //输入i号顶点并计数
         printf("(%d,%s)\t", i, G->vertices[i].data);
         ++count;
         for(p=G->vertices[i].firstarcOUT; p; p=p->nextarc){
             //对i号顶点的每个邻接点的入度减1
             k = p->adjvex;
             if(!(--indegree[k])) {
                 //若入度减为0,则入栈
                 Push(&S, &k);
             }
         }
     }
     printf("\n");
     if(count < G->vexnum){
         printf("警告：该图有环路!!\n");
         return -;
     }else{
         return ;
     }
 }

 int main(int argc, char *argv[])
 {
     ALGraph G;
     //创建有向图
     if(CreateDG(&G)<){
         printf("创建有向图时出错!\n");
         return -;
     }
     //打印图
     printG(&G);
     //进行拓扑排序
     ToplogicalSort(&G);
     return ;
 }

 int InitStack(SqStack *S){
     S->base = (int *) malloc(STACK_INIT_SIZE * sizeof(int));
     if(!S->base){
         return -;
     }
     S->top = S->base;
     S->stacksize = STACK_INIT_SIZE;
     return ;
 }

 int StackEmpty(SqStack *s){
     if(s->base == s->top){
         return ;
     }else{
         return -;
     }
 }

 int Push(SqStack *s, int *e){
     if((s->top-s->base) >= s->stacksize){
         s->base = (int*)realloc(s->base, (s->stacksize+STACK_INCREMENT)*(sizeof(int)));
         if(!s->base){
             return -;
         }
         s->top = s->base + s->stacksize;
         s->stacksize += STACK_INCREMENT;
     }
     if(e == NULL){
         return -;
     }else{
         *s->top = *e;
     }
     s->top += ;
     return ;
 }

 int Pop(SqStack *s, int *e)
 {
     if(s->top == s->base) {
         return -;
     }else{
         s->top -=;
         *e = *s->top;
         return ;
     }
 }

有向无环图的拓扑排序算法

代码运行

/home/lady/CLionProjects/untitled/cmake-build-debug/untitled
开始创建一个有向图,请输入顶点数，弧数:6,8
输入第1个顶点: V1
输入第2个顶点: V2
输入第3个顶点: V3
输入第4个顶点: V4
输入第5个顶点: V5
输入第6个顶点: V6
输入第1条弧(顶点1, 顶点2): V1,V2
输入第2条弧(顶点1, 顶点2): V1,V3
输入第3条弧(顶点1, 顶点2): V1,V4
输入第4条弧(顶点1, 顶点2): V3,V2
输入第5条弧(顶点1, 顶点2): V3,V5
输入第6条弧(顶点1, 顶点2): V4,V5
输入第7条弧(顶点1, 顶点2): V6,V4
输入第8条弧(顶点1, 顶点2): V6,V5

类型：有向图；顶点数 6, 弧数 8
邻接表:
(0,V1)    (3,V4)    (2,V3)    (1,V2)
(1,V2)
(2,V3)    (4,V5)    (1,V2)
(3,V4)    (4,V5)
(4,V5)
(5,V6)    (4,V5)    (3,V4)
逆邻接表:
(0,V1)
(1,V2)    (2,V3)    (0,V1)
(2,V3)    (0,V1)
(3,V4)    (5,V6)    (0,V1)
(4,V5)    (5,V6)    (3,V4)    (2,V3)
(5,V6)    

对各个顶点求入度...
(0,V1)的入度为0
(1,V2)的入度为2
(2,V3)的入度为1
(3,V4)的入度为2
(4,V5)的入度为3
(5,V6)的入度为0

进行拓扑排序:(5,V6)    (0,V1)    (2,V3)    (1,V2)    (3,V4)    (4,V5)    

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