KL散度、JS散度、Wasserstein距离

1. KL散度

KL散度又称为相对熵，信息散度，信息增益。KL散度是是两个概率分布 $P$ 和 $Q$  之间差别的非对称性的度量。 KL散度是用来 度量使用基于 $Q$ 的编码来编码来自 $P$ 的样本平均所需的额外的位元数。 典型情况下，$P$ 表示数据的真实分布，$Q$ 表示数据的理论分布，模型分布，或 $P$ 的近似分布。

定义如下：

因为对数函数是凸函数，所以KL散度的值为非负数。

有时会将KL散度称为KL距离，但它并不满足距离的性质：

1. KL散度不是对称的，即 $D_{KL} (P||Q) \neq D_{KL} (Q||P)$；
2. KL散度不满足三角不等式。

2. JS散度(Jensen-Shannon)

JS散度度量了两个概率分布的相似度，基于KL散度的变体，解决了KL散度非对称的问题。一般地，JS散度是对称的，其取值是 $0$ 到 $1$ 之间。定义如下：

KL散度和JS散度度量的时候有一个问题：

如果两个分配 $P, Q$ 离得很远，完全没有重叠的时候，那么KL散度值是没有意义的，而JS散度值是一个常数。这在学习算法中是比较致命的，这就意味这这一点的梯度为 $0$。梯度消失了。

3. Wasserstein距离

Wasserstein距离度量两个概率分布之间的距离，定义如下：

　　$\Pi (P_1, P_2)$ 是 $P_1$ 和 $P_2$ 分布组合起来的所有可能的联合分布的集合。对于每一个可能的联合分布 $\gamma$，可以从中采样 $(x,y)∼ \gamma$ 得到一个样本 $x$ 和 $y$，并计算出这对样本的距离 $||x−y||$，所以可以计算该联合分布 $\gamma$ 下，样本对距离的期望值 $E _{(x, y) ∼ \gamma}[||x−y||]$。在所有可能的联合分布中能够对这个期望值取到的下界 $\inf_{\gamma ∼ \Pi(P_1, P_2)} E _{(x, y) ∼ \gamma}[||x−y||]$ 就是Wasserstein距离。

　　直观上可以把 $E _{(x, y) ∼ \gamma}[||x−y||]$ 理解为在 $\gamma$ 这个路径规划下把土堆 $P_1$ 挪到土堆 $P_2$ 所需要的消耗。而Wasserstein距离就是在最优路径规划下的最小消耗。所以Wesserstein距离又叫Earth-Mover距离。

　　Wessertein距离相比KL散度和JS散度的优势在于：即使两个分布的支撑集没有重叠或者重叠非常少，仍然能反映两个分布的远近。而JS散度在此情况下是常量，KL散度可能无意义。

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