求曲线y=lnx在区间（2，6）内的一条切线，使得该切线与直线x=2,x=6及曲线y=lnx所围成的图形的面积最小。

求曲线y=lnx在区间（2，6）内的一条切线，使得该切线与直线x=2,x=6及曲线y=lnx所围成的图形的面积最小。

1。先画图。

2。设切点为（a,lna) （2<a<6)

3。切线方程y-lna=1/a (x-a)

4。积分求面积公式：

从2到6的积分，积分号下为 (lna-x/a + 1 -lnx)dx

可以求出S=关于a的表达式。

求S'（a)=0，求得a。

注：若S'(a)恒大于0，或恒小于0，那么说明其是单调的，则当x为区间端点时，可以取得最大或最小值。到底取哪个自己算

y'=lnx

不妨设切点坐标为（x0,lnx0）

切线方程为y-lnx0=(x-x0)/x0即y=lnx0+x/xo-1

则图形面积为

S=

∫（lnx0+x/xo-1-lnx）dx（从2积到6 ）

=4(lnx0-1)+16/x0-(6ln6-2ln2-4)

=4lnx0+16/x0-6ln6+2ln2

S'=4/x0-16/x0^2

=>x0=4时面积最小

此时切线方程为y=ln4+x/4-1