【BZOJ4596】黑暗前的幻想乡（矩阵树定理，容斥）

【BZOJ4596】黑暗前的幻想乡（矩阵树定理，容斥）

题面

BZOJ

有\(n\)个点，要求连出一棵生成树，

指定了一些边可以染成某种颜色，一共\(n-1\)种颜色，

求所有颜色都出现过的生成树方案数。

题解

一脸的容斥啊。

先矩阵树定理暴力算出所有符合条件的生成树，然后减去\(n-2\)中颜色的方案数，

再加上\(n-3\)种颜色的方案数......

所以直接暴力枚举颜色的子集，每次矩阵树就好了。

时间复杂度大概是\(O(2^{n-1}n^3log)\)???

虽然\(log\)小的不行，甚至可以当做没有啊。

但是，。。这复杂度假的不行啊。、

假装复杂度非常正确

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 20
#define MOD 1000000007
void add(int &x,int y){x+=y;if(x>=MOD)x-=MOD;}
inline int read()
{
    RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
int n,a[MAX][MAX],m[MAX],cnt[1<<17],ans;
int u[MAX][MAX*MAX],v[MAX][MAX*MAX];
int Calc(int S)
{
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=n;++j)a[i][j]=0;
	for(int i=1;i<n;++i)
		if(S&(1<<(i-1)))
			for(int j=1;j<=m[i];++j)
			{
				int x=u[i][j],y=v[i][j];
				++a[x][x];++a[y][y];--a[x][y];--a[y][x];
			}
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=n;++j)add(a[i][j],MOD);
	int ret=1;
	for(int i=2;i<=n;++i)
	{
		for(int j=i+1;j<=n;++j)
			while(a[j][i])
			{
				int t=a[i][i]/a[j][i];
				for(int k=i;k<=n;++k)
					a[i][k]=(a[i][k]-1ll*a[j][k]*t%MOD+MOD)%MOD,swap(a[i][k],a[j][k]);
				ret=MOD-ret;
			}
		ret=1ll*ret*a[i][i]%MOD;
	}
	return ret;
}
int main()
{
	n=read();
	for(int i=1;i<n;++i)
	{
		m[i]=read();
		for(int j=1;j<=m[i];++j)u[i][j]=read(),v[i][j]=read();
	}
	for(int i=0;i<1<<(n-1);++i)cnt[i]=cnt[i>>1]+(i&1);
	for(int i=0;i<1<<(n-1);++i)add(ans,((n-1-cnt[i])&1)?MOD-Calc(i):Calc(i));
	printf("%d\n",ans);
}