【进阶——最小费用最大流】hdu 1533 Going Home （费用流）Pacific Northwest 2004

题意：

给一个n*m的矩阵，其中由k个人和k个房子，给每个人匹配一个不同的房子，要求所有人走过的曼哈顿距离之和最短。

输入：

多组输入数据。

每组输入数据第一行是两个整型n, m，表示矩阵的长和宽。

接下来输入矩阵。

输出：

输出最短距离。

题解：

标准的最小费用最大流算法，或者用KM算法。由于这里是要学习费用流，所以使用前者。

最小费用最大流，顾名思义，就是在一个网络中，不止存在流量，每单位流量还存在一个费用。由于一个网络的最大流可能不止一种，所以，求出当前网络在流量最大的情况下的最小花费。

直接百度百科最小费用最大流算法，可以看到两种思路——

1. 先求出最大流。然后寻找是否存在路径，可以使这个网络在最大流不变的情况下减小费用。如果存在，则改变网络。不停迭代，知道不存在更优的路径为止——但是我还没有找到这种方法的实现方式。我自己也没有试着实现。
2. 在网络之外构造一个新图，这张图记录已经存在的路径的长度（即此路径单位流量的费用），需要注意的是路径是有向路径（反向路径的长度是正向路径的相反数，原因和最大流中每选择一条边，都要给网络构造）。然后寻找增广路径（也就是从源点到汇点的一条路），这条路同时满足在构造的图是最短路。然后按照求最大流的方法修改原网络，反复迭代，保证每次找到的增广路都是当前残余网络在构造的图中的最短路。那么最终得到的最大流一定是最小费用最大流（贪心大法）。

以上是算最小费用最大流的方法。

具体的算法，可以使用EK+spfa算法来实现。

针对这道题，我们需要先构造网络。

我们设0节点为源点，接下来1——k节点为人，k+1——2*k为房子，2*k+1为汇点。

源点到每个人连一条边，每个人到每个房子连一条边，每个房子到汇点连一条边（不要忘了是有向边），每条边的权为1。

接下来构造费用图。源点到每个人一条边，权值为0，每个人到每个房子一条边，权值为它们之间的曼哈顿距离。每个放在到汇点一条边，权值为0。

然后带到算法里计算。

实现见代码——

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cmath>
 #include <algorithm>
 #include <queue>
 using namespace std;

 const int N = ;
 const int M = ;

 struct Node
 {
     int x, y;
 }man[N], house[N];                      //人，房子的横纵坐标

 char mp[N][N];
 int cost[*N][*N], flow[*N][*N];     //距离图和流网络
 int pre[*N], low[*N], dis[*N];       //分别记录当前节点的父节点，当前路径的最小流量，spfa中的最短距离
 bool vis[*N];                          //标记当前节点是否在队列中
 int n, m;
 int ans;
 int mn, hs, k, kk;                      //分别表示人的数量+1，房子的数量+1，人的数量，邻接矩阵每一维的大小

 void init()
 {
     mn = , hs = ;
     for(int i = ; i < n; i++)
     {
         scanf("%s", mp[i]);
         for(int j = ; j < m; j++)
         {
             if(mp[i][j] == 'm') {man[mn].x = i; man[mn++].y = j;}
             if(mp[i][j] == 'H') {house[hs].x = i; house[hs++].y = j;}
         }
     }
     k = hs-;
     kk = *k+;
     for(int i = ; i < kk; i++)
     {
         for(int j = ; j < kk; j++) cost[i][j] = M;
     }
     memset(flow, , sizeof(flow));
     for(int i = ; i <= k; i++)
     {
         for(int j = k+; j < kk; j++)
         {
             cost[i][j] = abs(man[i].x-house[j-k].x)+abs(man[i].y-house[j-k].y);     //人到房子的距离为曼哈顿距离
             cost[j][i] = -cost[i][j];                                               //反向距离
             flow[i][j] = ;                                                         //人到房子的流网络
         }
         cost[i][] = cost[][i] = ;                                                //源点到人，人到源点的距离
         flow[][i] = ;                                                             //源点到人的流网络
         cost[i+k][kk] = cost[kk][i+k] = ;                                          //汇点到房子，房子到汇点的距离
         flow[i+k][kk] = ;                                                          //房子到汇点的流网络
     }
     ans = ;
 }

 int Min(int x, int y)
 {
     return x < y ? x : y;
 }

 bool spfa()
 {
     for(int i = ; i <= kk; i++)
     {
         dis[i] = M;
         pre[i] = -;
         vis[i] = ;
         low[i] = M;
     }
     queue<int> que;
     que.push();
     vis[] = ;
     dis[] = ;
     while(!que.empty())
     {
         int p = que.front();
         que.pop();
         vis[p] = ;
         for(int i = ; i <= kk; i++)
         {
             if(flow[p][i] && dis[i] > dis[p]+cost[p][i])
             {
                 dis[i] = dis[p]+cost[p][i];
                 pre[i] = p;
                 low[i] = Min(low[p], flow[p][i]);
                 if(!vis[i])
                 {
                     vis[i] = ;
                     que.push(i);
                 }
             }
         }
     }
     return dis[kk] != M;
 }

 void work()
 {
     while(spfa())       //如果存在路径，则计算流量
     {
         int x = kk;
         while(pre[x] != -)
         {
             flow[pre[x]][x] -= low[kk];
             flow[x][pre[x]] += low[kk];
             x = pre[x];
         }
         ans += dis[kk];     //计算距离和
     }
 }

 void outit()
 {
     printf("%d\n", ans);
 }

 int main()
 {
     while(~scanf("%d%d", &n, &m) && (n+m))
     {
         init();
         work();
         outit();
     }
     return ;
 }