关于高斯消元解决xor问题的总结

我觉得xor这东西特别神奇，最神奇的就是这个性质了 A xor B xor B=A

这样就根本不用在意重复之类的问题了

关于xor的问题大家可以去膜拜莫队的《高斯消元解XOR方程组》，里面写的很详细

我来扯两道bzoj上的例题好了

bzoj2115，求1-N最长xor路径，根据那个神奇的性质，我们先随便找一条1-n的路径作为标准路径

任意一条1-N的路径都等价于标准路径和某些环的xor

怎么找环？很简单，bfs下去，设d[x]表示1到x的一条路径xor值，如果到一条边x-->y时y已经访问过了，那么d[x] xor d[y] xor w[x,y]就是一个环

然后这个问题就转变成了求一堆数中任意数xor最大的问题，这我们是通过求线性基然后按位贪心就可以了

 type node=record
        po,next:longint;
        num:int64;
      end;

 var f:array[..] of int64;
     d:array[..] of int64;
     q,p:array[..] of int64;
     a:array[..] of int64;
     e:array[..] of node;
     x,y,i,n,m,len,t:longint;
     ans,z:int64;

 procedure add(x,y:longint;z:int64);
   begin
     inc(len);
     e[len].po:=y;
     e[len].num:=z;
     e[len].next:=p[x];
     p[x]:=len;
   end;

 procedure bfs;
   var h,r,i,x,y:longint;
   begin
     fillchar(d,sizeof(d),);
     d[]:=;
     h:=; r:=; q[]:=;
     while h<=r do
     begin
       x:=q[h];
       i:=p[x];
       while i<> do
       begin
         y:=e[i].po;
         if d[y]=- then
         begin
           d[y]:=d[x] xor e[i].num;
           inc(r);
           q[r]:=y;
         end
         else if d[y] xor d[x] xor e[i].num<> then  //找环
         begin
           inc(t);
           a[t]:=d[y] xor d[x] xor e[i].num;
         end;
         i:=e[i].next;
       end;
       inc(h);
     end;
   end;

 procedure gauss;
   var i,j:longint;
   begin
     for i:= to t do
       for j:= downto  do
         if a[i] and (int64() shl j)> then //求线性基
         begin
           if f[j]= then
           begin
             f[j]:=a[i];
             break;
           end
           else a[i]:=a[i] xor f[j];
         end;

     ans:=d[n];
     for i:= downto  do
       if ans and (int64() shl i)= then ans:=ans xor f[i];
   end;

 begin
   readln(n,m);
   for i:= to m do
   begin
     readln(x,y,z);
     add(x,y,z);
     add(y,x,z);
   end;
   bfs;
   gauss;
   writeln(ans);
 end.

bzoj2844

一堆数xor能产生数的种类数就是2^线性基的秩

并且每个数出现的次数是一样的（求证明）

然后我们就可以做了，注意这里的线性基要用高斯消元求而不能用上题的方法

因为要计算某个数出现在第几位，必须使线性基相互xor的数的大小满足二进制位的大小关系

举个例子，比如线性基a,b,c并且a>b>c，如果取a,b xor，选取状况为110，这样选取xor的数一定要比011这样选大，我们称之为满足二进制大小关系（我自己口胡的名词）

 const mo=;

 var a,d:array[..] of longint;
     f,b:array[..] of longint;
     k,p,i,j,n,ans,m,t:longint;

 procedure swap(var a,b:longint);
   var c:longint;
   begin
     c:=a;
     a:=b;
     b:=c;
   end;

 begin
   readln(n);
   for i:= to n do
     read(a[i]);
   d[]:=;
   for i:= to n do
     d[i]:=d[i-]* mod mo;

   readln(m);
   k:=n;
   for i:= to n do
   begin
     for j:=i+ to n do
       if a[i]<a[j] then swap(a[i],a[j]);
     if a[i]= then
     begin
       k:=i-;
       break;
     end;
     for j:= downto  do
       if a[i] and ( shl j)> then
       begin
         b[i]:=j;
         for p:= to n do
           if (p<>i) and (a[p] and ( shl j)>) then
             a[p]:=a[p] xor a[i];
         break;
       end;
   end;
   ans:=;
   for i:= to k do
     if m and ( shl b[i])> then
     begin
       m:=m xor a[i];
       ans:=(ans+d[k-i+n-k]) mod mo;
     end;

   writeln(ans);
 end.