洛谷P4424 [HNOI/AHOI2018]寻宝游戏(思维题)

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Sol

神仙题Orz

Orz zbq爆搜70。。

考虑"与"和"或"的性质

\(0 \& 0 = 0, 1 \& 0 = 0\)

\(0 \mid 1 = 1, 1 \mid 1 = 1\)

也就是说某一个数\(\& 0\)之后不管之前是什么，现在的值变为\(0\)

某一个数\(\mid 1\)之后不管之前的是什么，现在的值变为\(1\)

继续考虑

\(0 \& 1 = 0, 1 \& 1 = 1\)

\(0 \mid 0 = 0, 1 \mid 0 = 1\)

这个时候我们把\(\&\)看做是1，\(\mid\)看做是\(0\)

那么对于上面这两条式子，可以看出若某个数和前面的运算符相同，之前的值不会发生改变

这时候考虑如何计算答案，对于每次询问，若某一位上是\(1\)

那么我们把每一列上的数和他之前的操作符分别拿出来看成一些序列，显然这个序列要满足最后一个\(\mid 1\)要在\(\& 0\)之后

那么这两个序列应该长这个样子：

\(101010 \dots 0 \dots 1\)

\(101010 \dots 1 \dots 0\)

我们会惊奇的发现，第一个式子一定大于第二式子。同理如果询问的位置是\(0\)的话，第一个式子应该小于第二个式子

又因为第二个式子的\(0/1\)可以任意取。那么答案应该是\(min_1 - max_0\)，\(min_1\)表示询问位置上的值是\(1\)对应的列的最小值(每一列的第一行是最低位)。

这样的复杂度是\(O(nmq)\)

实际上每次询问至于每一列的大小有关，我们可以先按照字符串的大小排一遍序(搞出类似后缀数组中的sa和rak数组)，这样每次询问就只需要计算两个串的答案了

复杂度：\(O(mn\log m + mq)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int MAXN = 5e5 + 10, INF = 1e9 + 7, mod = 1000000007;
template<typename A, typename B> inline void chmax(A &x, B y) {
	x = x > y ? x : y;
}
template<typename A, typename B> inline void chmin(A &x, B y) {
	x = x < y ? x : y;
}
template<typename A, typename B> inline void add2(A &x, B y) {
	x = (x + y >= mod ? x + y - mod : x + y);
}
inline int read() {
	char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
	while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
	while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
	return x * f;
}
int N, M, Q, v[MAXN], rak[MAXN], po2[MAXN], sa[MAXN], val[MAXN];
char a[1002][5002], q[5001];
int comp(const int &x, const int &y) {
	for(int i = N; i >= 1; i--)
		if(a[i][x] == '0' && a[i][y] == '1') return 1;
		else if(a[i][x] == '1' && a[i][y] == '0') return 0;
	return 0;
}
int trans(int id) {
	int ans = 0;
	for(int i = N; i >= 1; i--)
		if(a[i][id] == '1') add2(ans, po2[i - 1]);
	return ans;
}
int main() {
//	freopen("a.in", "r", stdin);
	N = read(); M = read(); Q = read(); po2[0] = 1;
	for(int i = 1; i <= N; i++) scanf("%s", a[i] + 1), po2[i] = (po2[i - 1] * 2) % mod;
	for(int i = 1; i <= N; i++) a[i][M + 1] = '1', a[i][0]= '0';
	for(int i = 1; i <= M + 1; i++) sa[i] = i;
	sort(sa + 1, sa + M + 2, comp);
	for(int i = 1; i <= M + 1; i++) rak[sa[i]] = i;
	for(int i = 1; i <= M + 1; i++) val[i] = trans(i); val[M + 1]++;//不++就比答案少1，加了莫名其妙就过了。。。
	for(int i = 1; i <= Q; i++) {
		scanf("%s", q + 1);
		int r = M + 1, l = 0;
		for(int j = 1; j <= M; j++)
			if(q[j] == '1') chmin(r, rak[j]);
			else chmax(l, rak[j]);
		if(l > r) puts("0");
		else cout << (val[sa[r]] - val[sa[l]] + mod) % mod << '\n';
	}
	return 0;
}
/*
3
0 1 1
5 7 3
*/