【洛谷4424】[HNOI/AHOI2018] 寻宝游戏（位运算思维题）

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大致题意： 给你\(n\)个\(m\)位二进制数。每组询问给你一个\(m\)位二进制数，要求你从\(0\)开始，依次对于这\(n\)个数进行\(and\)或\(or\)操作，问有多少种方案能够得到给你的这个二进制数。

找规律

不难想到去对每一位分别讨论。

则根据位运算法则可得：

• 当你把某一位的数\(and\ 0\)，就相当于把这一位数赋值为\(0\)。
• 当你把某一位的数\(or\ 1\)，就相当于把这一位数赋值为\(1\)。
• 当你把某一位的数\(and\ 1\)或者\(or\ 0\)时，这一位的值均不变。

则可以得出一个结论：

• 若给定数这一位为\(0\)，则对于这一位的运算中最后一次\(and\ 0\)要出现在最后一次\(or\ 1\)之后（或者两者都未出现）。
• 若给定数这一位为\(1\)，则对于这一位的运算中最后一次\(or\ 1\)要出现在最后一次\(and\ 0\)之后（注意\(or\ 1\)必须有，\(and\ 0\)可有可无）。

但这样依然不太好操作，所以我们要进行进一步转化。

转化

考虑把操作序列转化为一个二进制数，\(or\)为\(0\)，\(and\)为\(1\)，且较后操作处于较高位。

然后把题目中给出的\(n\)个长度为\(m\)的数变为\(m\)个长度为\(n\)的数，第\(i\)个数由初始的\(n\)个数的第\(i\)位组成，且编号较大的数处于较高位。

这样一来操作与数就可以一一对应了。

然后考虑如果对应位相等，表示该操作无影响。

而不相等那一位，若操作序列中的值为\(0\)，数中的值为\(1\)，即操作序列中这一位小于该数中的这一位，说明是赋值为\(1\)，反之是赋值为\(0\)。

由于二进制下比大小看不相等的最高位，所以我们可以得出结论：

• 若操作序列所表示的二进制数小于该数，则最终结果中该数所对应位上为\(1\)（不能等于是因为一定要有\(or\ 1\)操作）。
• 若操作序列所表示的二进制数大于等于该数，则最终结果中该数所对应位上为\(0\)。

也就是说，一个符合条件的操作序列所表示的二进制数，要满足其小于所有应得位为\(1\)的数，大于等于所有应得位为\(0\)的数。

而这也就是要小于所有应得位为\(1\)的数的最小值，大于等于所有应得数为\(0\)的数的最大值。

则可以先将所有数排序，然后求出所有数取模后的值，然后对于询问从小到大找最大值，从大到小找最小值即可。

具体实现详见代码。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 1000
#define M 5000
#define X 1000000007
#define Inc(x,y) ((x+=(y))>=X&&(x-=X))
using namespace std;
int n,m,v[M+5],pw[M+5];
struct data
{
	int p;string s;
	I bool operator < (Con data& o) Con {return s<o.s;}
}s[M+5];
I int XSub(CI x,CI y) {return x<y?x-y+X:x-y;}
int main()
{
	RI Qt,i,j,l,r;string st;for(scanf("%d%d%d",&n,&m,&Qt),i=1;i<=m;++i) s[i].p=i;//初始化
	for(i=1;i<=n;++i) for(cin>>st,j=1;j<=m;++j) s[j].s=st[j-1]+s[j].s;//初始化出字符串
	for(pw[0]=i=1;i<=n;++i) (pw[i]=pw[i-1]<<1)>=X&&(pw[i]-=X);v[m+1]=pw[n];//预处理2的幂
	for(sort(s+1,s+m+1),i=1;i<=m;++i) {for(j=0;j^n;++j) s[i].s[j]^48&&Inc(v[i],pw[n-j-1]);}//排序，预处理出每个数的值
	W(Qt--)
	{
		for(cin>>st,l=0,i=m;i;--i) if(st[s[i].p-1]^'1') {l=i;break;}//找最小值
		for(r=m+1,i=1;i<=m;++i) if(st[s[i].p-1]^'0') {r=i;break;}//找最大值
		printf("%d\n",l<=r?XSub(v[r],v[l]):0);//计算答案
	}return 0;
}