7. 18 test 砍树题解
(题面保密,内部人员可览)
首先观察题面,可得出如下公式
∑(ceil(a[i] /d)*d−a[i])≤k
其中,ceil(a[i] /d)表示在需要被砍伐之前所经过的轮数,ceil函数是为了保证一定可以被砍伐,即轮数=(a[i]%d)?(a[i]/d):(a[i]/d+1)
轮数*d表示一共生长的长度,减去a[i]即为需要砍伐的长度,取sigma即为一共需砍伐的长度,与长度上限k比较,若小于等于k,即为符合条件。
推得公式后,大部分OIER的思路都是二分求解,但这个题不满足二分单调性,可以手动模拟一下,有如下几种方法:
1.暴力对拍
2.将check函数返回值输出,理想状态:“1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0”,实际状态:“1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0”(疯狂跳跃)。。
3.将二分左端点值赋作以求得的ans值,右端点不变,再次二分,发现ans值发生变化
于是对于此题而言,我们应该用什么方法求解呢?
首先我们化简公式
∑(ceil(a[i] /d))≤(k+∑(a[i]))/d
我们不难发现 k+∑(a[i]) 是一个定值,我们设之为limit
考虑函数单调性思想,我们发现右侧(k+∑(a[i]))/d的值应向下取整,因为若一个函数的最大值小于另一个函数的最小值,那么这个函数小于另一个函数恒成立,由此可得解
那么总结规律,随着d的不断增加(k+∑(a[i]))/d的值呈分段下降,而∑(ceil(a[i] /d))也同样分段下降,且区间长度远小于前者
于是不难看出,可以采用数论分块向下取整的思想来处理。
例如:floor(107/36)=2,floor(107/53)=2,36~53即为一段区间,那么如何求呢?公式如下
r=k/(k/l);
证明如下:
而这也正是此题的核心内容
由于题目要求求最大的值,那么我们只需要满足每一个区间的右端点满足条件即可,因为∑(ceil(a[i] /d))满足区间单调性,若一个区间,左端点满足条件,那么整个区间一定满足条件,若右端点不满足条件,那整体一定不满足,而一个区间的最优解,一定是右端点,因此不需考虑中间交点。
代码如下:
#include<bits/stdc++.h>
#define re register
#define ll long long
using namespace std;
ll n,k,limit,a[];
inline ll read(){
re ll a=,b=;re char ch=getchar();
while(ch<''||ch>'')
b=(ch=='-')?-:,ch=getchar();
while(ch>=''&&ch<='')
a=(a<<)+(a<<)+(ch^),ch=getchar();
return a*b;
}
signed main()
{
n=read(),k=read();limit=k;
for(re ll i=;i<=n;++i)
a[i]=read(),limit+=a[i];
for(re ll d=limit;d>=;d--)
{
re ll flag=limit/d,tot=;
for(re ll i=;i<=n;++i)
tot+=(a[i]-)/d+;
if(tot<=flag)
{printf("%lld\n",d);return ;}
d=(limit/(limit/d+))+;
}
return ;
}
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