Solution -「原创」Destiny

题目背景

题目背景与题目描述无关。签到愉快。

「冷」

他半靠在床沿，一缕感伤在透亮的眼眸间荡漾。

冷见惆怅而四散逃去。经历嘈杂喧嚣，感官早已麻木。冷又见空洞而乘隙而入。从里向外，这不是感官的范畴。

他暗笑，笑自己多情。

「暖」

正恍惚，忽见她闪进门帘。

慢步，靠近，站定，俯身。一抹浅笑挟带着闪闪泪光刻印在时光里。

沉醉于这美好，四周空气开始有了温度，刚刚好的温度。

「坠」

起身，伸出手，他想轻抚过那朝思暮想的面颊。

但他做不到，他发现他在坠落，没有尽头。

深渊是主犯，不断向下延伸，贪婪地吞噬这尘世间最后一点温柔。迷雾是帮凶，裹住了一切，阻断最后一条希望的路。

「醒」

梦，惊醒。

他抬起头，时间停滞。他想到那深渊的血盆大口，又忆起梦中溜过的那丝美好。

他猛地抓起外衣，冲出自习室。

小花园的路灯，藏着栀子花的剪影。她也在那里，像在等待一个注定会来的人。

的确，来了。

命运接受了这一对相伴而行的身影和那个通往“永远”的约定。

题目描述

在等待那个注定会来的人时，可爱的她比较闲，伴着夜色写下了一张纸条。

纸条上有 $n$ 段只包含小写字母的字符串和一个长度为 $26$ 的整数序列 $V$。

月光不断推移，她看着迟来的中意之人，悄声道：“你可以任意使用操作 $(i, p)$ 以删除所有满足条件的字符串。所谓条件有两个。第一，长度至少为 $p$。”

“第二，只有长度大于等于 $p$ 且前 $p$ 位和第 $i$ 个字符串的前 $p$ 位完全相同的字符串（包含第 $i$ 个）才算满足条件。”

“每一次操作 $(i, p)$ 的代价是 $V_c$，$V_c$ 中的下标 $c$ 表示第 $i$ 个字符串的第 $p$ 位的字符在 a 到 z 的小写字母中的排名哦，例如：a 即 1，b 即 2。”

“但愿，你可以告诉我删除所有字符串的最小代价叭？”

输入格式

共 $n + 2$ 行。

第 $1$ 行，一个正整数 $n$。

接下来有 $n$ 行，每一行包含一个仅由小写字符组成的字符串。

最后一行，包含 $26$ 个正整数，表示序列 $V$。

输出格式

共一行，一个正整数，表示删除所有字符串的最小代价。

样例输入

3

bcde

bcdefg

arena

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

样例输出

提示

记输入字符串总长为 $|S|$。

对于 $20 \%$ 的数据，$1 \leq n \leq 4, n \leq |S| \leq 20,1 \leq V_i \leq 10$。

对于另外 $10 \%$ 的数据，$V_i = 1$。

对于另外 $20 \%$ 的数据，$1 \leq n \leq 10^4, n \leq |S| \leq 5 \times 10^4, 1 \leq V_i \leq 10^9$。

对于 $100 \%$ 的数据，$1 \leq n \leq 10^5, n \leq |S| \leq 3 \times 10^5, 1 \leq V_i \leq 10^9$。

保证数据随机。

注意： 一个字符串可能会因为多次操作而被重复删除，这种情况就当作只删除了一次，后续的删除操作实际无效，但代价照常。

比如：

ab

cb

可以执行操作 $(1, a)$ 和操作 $(2, b)$，即使 ab 被删除了两次。

下面是题解

写在前面

题目初版太难了（？，以至于赶来救急的验题人不会。

紧接着，验题人反手一个逻辑分析，Hack 掉了出题人的 std。

然后出题人将错就错，胡出了这道题。签到愉快（（

题解

从「条件」入手就非常好做。

两个条件一起限制了字符串的前缀和前缀结尾字符，这明确指向 Trie 树之类的。那么再来考虑操作能不能挂在 Trie 树上。

确实可以，操作 $(i, p)$ 就是在 Trie 树上删掉 $p$ 这一深度上代表第 $i$ 个字符串的第 $p$ 位的字符的边。如果把这个字符的在小写字母里的排名记为 $c$，则操作代价为 $V_c$。所以这是一颗带额外边权的 Trie 树。

而你的任务变成：删掉任意多条边，使得根节点与所有叶子节点都不连通，并满足删掉的边权和最小。

然后就可以树形 dp 了，当然你甚至可以最小割（因为考虑到一些因素，我们保留了最小割方法的通过性）。最小割是裸的，简单提一下树形 dp。

定义 $dp_u$ 表示通过考虑节点 $u$ 和它父亲的这条边（根节点没有）和节点 $u$ 的子树内的边割一部分，使得整个节点 $u$ 的子树内的叶子节点与根断开的最小代价。

转移分两种：

枚举每一个儿子（注意叶子节点没有儿子，此时舍弃这类情况），它们单独控制自己的子树就可以了，代价即 ${\sum \limits _{u \to v}}dp_v$。
割 $u$ 节点和它父亲的边，代价即边权。

两者取最小值向上转移即可，时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(n)$。根据实现不同可以会有 $26$ 的常数。

总之就真的是签到啦。

写在后面

可以考虑一下，如果操作 $(i, p)$ 改成：记第 $i$ 个字符串的第 $p$ 个字符为 $c$，排名为 $r$。每次操作删除所有有第 $p$ 位，且第 $p$ 位为 $c$ 的字符串，代价为 $V_r$。

其它不变（或许数据范围可以作微调），该怎么做呢？