BZOJ 1036 [ZJOI2008]树的统计Count（动态树）

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1036

题意：一棵树，每个节点有一个权值。三种操作：（1）修改某个节点的权值；（2）输出某两个节点之间的权值之和；（3）输出某两个节点之间权值的最大值。

思路：（1）首先说明，在splay中记录一个father，表示当前节点的父节点。但是在这里，在一个树链中，father与在splay中的father的意义是一样的，也就是设v的father是u，那么u的左孩子或者右孩子必然有一个是v。但是，若v和u不在一个树链中，那么u表示v所在树链的最上面的顶点的父节点。也就是此时u的左孩子和右孩子都不是v，u和v属于两个树链；

（2）在一个树链中v的左孩子是在v上面的顶点，也就是在原树中这些点都是v的父节点以及祖宗节点；右孩子是v下面的顶点，也就是原树中v的孩子以及子孙节点。当然不管右孩子还是左孩子都是当前与v在一个树链中的；

（3）splay(x)将x旋转到x所在的树链的根，access(x)将x和root（这个root才是真正的树根）的边变为实边。在access(x)时，首先要断开x与其右孩子Xr的关联（在（4）中我们解释为什么要断开），并将Xr的father设为x，那么此时，Xr将成为一个树链的根；接着对于v的父节点u，因为要将u的右孩子变为v，所以之前u的右孩子（若有）Ur要与其断开并将Ur的father设为u，此时Ur将成为其所在树链的根；接着将u的右孩子设为v。一直向上直到root；

（4）每次计算(x,y)的最大或者和时，首先access(x)将x和root之间的边变为实边，然后access(y)此时返回值就是p=Lca(x,y)。想想为什么是这样？因为Lca(x,y)已经跟x在一个树链上了，因为我们已经access(x)了。现在从y开始向上找时，对于其father节点z，首先会splay(z)将z转到其所在树链的根节点，那么若z是Lca(x,y)，那么z必然将成为树根，也就是root，那么其father节点为null。现在我们说明白了返回值为什么是 Lca(x,y)。接着p会与x断开，因为x在p的右孩子或者右孩子以下，p的右孩子将变成y所以断开了。此时若将splay(x)，那么x就是p到x路径（不包含p）组成的树链的根，并且不会包含x以下的部分，在（3）中我们知道，x向上access时x与其右孩子已经断开。那么用x的sum以及p的val以及p的右孩子也就是y的sum就能计算出x到y的和。

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 #include<string>
 #include<algorithm>
 long long w[],sum[],mx[];
 int fa[],ch[][],st[];
 int u[],v[],n,m,rev[],x,y;
 void updata(int x){
     int l=ch[x][],r=ch[x][];
     sum[x]=w[x]+sum[l]+sum[r];
     mx[x]=std::max(w[x],std::max(mx[l],mx[r]));
 }
 void pushdown(int x){
     int l=ch[x][],r=ch[x][];
     if (rev[x]){
         rev[x]^=;
         rev[l]^=;
         rev[r]^=;
         std::swap(ch[x][],ch[x][]);
     }
 }
 bool pd(int x){
     return ch[fa[x]][]!=x&&ch[fa[x]][]!=x;
 }
 void rotate(int x){
     int y=fa[x],z=fa[y],l,r;
     if (ch[y][]==x) l=;else l=;r=l^;
     if (!pd(y)){
         if (ch[z][]==y) ch[z][]=x;else ch[z][]=x;
     }
     fa[x]=z;fa[y]=x;fa[ch[x][r]]=y;
     ch[y][l]=ch[x][r];ch[x][r]=y;
     updata(y);updata(x);
 }
 void splay(int x){
     int top=;st[++top]=x;
     for (int i=x;!pd(i);i=fa[i]){
         st[++top]=fa[i];
     }
     for (int i=top;i;i--)
      pushdown(st[i]);
     while (!pd(x)){
         int y=fa[x],z=fa[y];
         if (!pd(y)){
             if (ch[y][]==x^ch[z][]==y) rotate(x);
             else rotate(y);
         }
         rotate(x);
     }
 }
 void access(int x){
     for (int t=;x;t=x,x=fa[x]){
         splay(x);
         ch[x][]=t;
         updata(x);
     }
 }
 void makeroot(int x){
     access(x);splay(x);rev[x]^=;
 }
 void link(int x,int y){
     makeroot(x);
     fa[x]=y;
 }
 int main(){
     scanf("%d",&n);mx[]=-0x7fffffff;
     for (int i=;i<n;i++){
         scanf("%d%d",&u[i],&v[i]);
     }
     for (int i=;i<=n;i++){
         scanf("%lld",&w[i]);
         sum[i]=mx[i]=w[i];
     }
     for (int i=;i<n;i++){
         link(u[i],v[i]);
     }
     scanf("%d",&m);
     char s[];
     for (int i=;i<=m;i++){
         scanf("%s%d%d",s,&x,&y);
         if (s[]=='H'){
             splay(x);
             w[x]=y;
             updata(x);
         }
         else
         if (s[]=='M'){
             makeroot(x);
             access(y);
             splay(y);
             printf("%lld\n",mx[y]);
         }
         else{
             makeroot(x);
             access(y);
             splay(y);
             printf("%lld\n",sum[y]);
         }
     }

 }