【bzoj1053】反素数

【bzoj1053】反素数

题意

对于任何正整数x，其约数的个数记作g(x)。例如g(1)=1、g(6)=4。如果某个正整数x满足：g(x)>g(i) 0<i<x，则称x为反质数。例如，整数1，2，4，6等都是反质数。现在给定一个数N，你能求出不超过N的最大的反质数么？

\(1<=N<=2,000,000,000\)

分析

设\(N={a_1}^{p_1}{a_2}^{p_2}...{a_m}^{p_m}\)

所以\(g(N)=\prod_{i=1}^m(p_i+1)\)

现在要求出不超过\(N\)的\(x\)，使得\(g(x)>g(i)\)

我们尝试找出\(x\)的特性，来缩小枚举的范围。

假定\(p_1,p_2,...,p_m\)一定，那么约数个数一定。

假设\(p_1,p_2,...,p_m\)可以组合成一个数\(x<N\)，那么意味着它能组合的最小的数\(x<N\)，所以\(a_1,a_2,...,a_m\)一定越小越好，即取前\(m\)个素数。

而\(N\leq 2*10^9\)，所以只用预处理出前20个素数即可。

而且，当\(a_1<a_2<...<a_m\)一定时，考虑\(p\)要满足什么关系。

可以得到这样的结论：\(p_1>p_2>p_3>...>p_m\)，否则可以通过交换得到更小的数而可以满足条件。

所以我们先预处理出前20个素数，然后从小到大枚举当前素因子取多少个。

取一个约数个数最大的即可。