约数 求反素数bzoj1053 bzoj1257

//约数

/*
求n的正约数集合：试除法
复杂度：O(sqrt(n))
原理：扫描[1,sqrt(N)]，尝试d能否整除n，若能，则N/d也能
*/
int factor[],m=;
for(int i=;i*i<=n;i++){
    if(n%i==){
        factor[++m]=i;
        if(i!=n/i) factor[++m]=n/i;
    }
} 

/*
求[1,n]每个数的正约数集合：倍数法
复杂度：O(nlogn)
原理：对于每个数d，[1,n]中以d为约数的数就是d的倍数
*/
vector<int> factor[];
for(int i=;i<=n;i++)
    for(int j=;i*j<=n;j++)
        factor[i*j].push_back(i);

/*两个推论
1.一个整数的约数个数上界 为2*sqrt(n)
2.[1,n]每个数的约数个数总和大约为nlogn
*/

/*
题意有点绕
每个人手里有一个非0数字，首先第k个人出列，然后按其手里的数字让下一个人出列
循环如此，设i为小于等于N的最大反素数，问第i个出列的人的编号
打表求反素数：按质因数大小递增顺序搜索每一个质因子，枚举每一个质因子的个数
唯一分解定理，一个数的因子数：(p1+1)(p2+1)(p3+1)...
性质1：一个反素数的质因子必然是从2开始连续的质数
性质2：
1 2 3 4 6 9 12 18 36
*/
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 1<<29
int n,p[]={,,,,,,,,,,,},use[];
ll maxt,ans;//maxt是最大因子数，ans是当前的反质数
//id是素数表的下标，now是当前数字，tot是因子数,符合因子数公式
void dfs(ll id,ll now,ll tot){
    if(tot>maxt)//找到了因子数更大的数
        ans=now,maxt=tot;
    else if(tot==maxt && now<ans)//找到因子数相同，但是数值更小的数
        ans=now,maxt=tot;
    use[id]=;
    while(now*p[id]<=n && use[id]+<=use[id-]){//第二个是剪枝
        use[id]++;
        now*=p[id];
        dfs(id+,now,tot*(use[id]+));
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    use[]=inf;
    dfs(,,);
    printf("%lld",ans);
    return ;
}

推公式题，详见进阶指南p134

思路大概是：当i在区间[x,k/(k/x)]时，k/i的值都是一样的，那么这一段的值可以用等差数列求和公式做

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long n,k;
long long ans;
int main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    ans=(long long)n*k;
    for(int x=,gx=;x<=n;x=gx+){
        gx=k/x?min(n,k/(k/x)):n;
        ans-=(k/x)*(x+gx)*(gx-x+)/;//首项x*k/x,末项gx*k/x,项数gx-x+1
    }
    printf("%lld\n",ans);
}