BZOJ2671 : Calc

设$d=\gcd(a,b),a=xd,b=yd$,则$a+b|ab$等价于$x+y|xyd$。

因为$x,y$互质，所以$x+y|d$。

假设$x<y$，那么对于固定的$x,y$，有$\lfloor\frac{n}{y(x+y)}\rfloor$个$d$。

枚举$y$，设$m=\lfloor\frac{n}{y}\rfloor$，则它的贡献为：

\[\begin{eqnarray*}
&&\sum_{i=1}^{y-1}[\gcd(i,y)=1]\lfloor\frac{m}{i+y}\rfloor\\
&=&\sum_{i=1}^{y-1}\sum_{d|\gcd(i,y)}\mu(d)\lfloor\frac{m}{i+y}\rfloor\\
&=&\sum_{i=1}^{y-1}\sum_{d|i,d|y}\mu(d)\lfloor\frac{m}{i+y}\rfloor\\
&=&\sum_{d|y}\mu(d)\sum_{d|i}\lfloor\frac{m}{i+y}\rfloor
\end{eqnarray*}\]

枚举$y$的约数$d$，再分段计算$\sum_{d|i}\lfloor\frac{m}{i+y}\rfloor$即可。

时间复杂度$O(N^\frac{3}{4}\log N)$。

#include<cstdio>
typedef long long ll;
const int N=46500,M=505030;
int n,m,lim,i,j,d,l,r,vis[N],tot,p[N],mu[N],g[N],v[M],nxt[M],ed;ll ans,t;
inline void add(int x,int y){v[++ed]=y;nxt[ed]=g[x];g[x]=ed;}
int main(){
  for(scanf("%d",&n);(ll)lim*(lim+1)<=n;lim++);
  for(mu[1]=1,i=2;i<lim;i++){
    if(!vis[i])p[tot++]=i,mu[i]=-1;
    for(j=0;j<tot;j++){
      if(i*p[j]>=lim)break;
      vis[i*p[j]]=1;
      if(i%p[j])mu[i*p[j]]=-mu[i];else break;
    }
  }
  for(i=1;i<lim;i++)if(mu[i])for(j=i;j<lim;j+=i)add(j,i);
  for(i=2;i<lim;i++)for(m=n/i,j=g[i];j;j=nxt[j]){
    for(t=0,d=v[j],l=1;l<i&&i+l<=m;l=r+1){
      r=m/(m/(i+l))-i;
      if(r>=i)r=i-1;
      t+=(ll)(r/d-(l-1)/d)*(m/(i+l));
    }
    ans+=t*mu[d];
  }
  return printf("%lld",ans),0;
}